若D为 x^2+y^2≤1 的上半部分,计算二重积分 I=∫∫y^2√(1-x^2）dxdy

首先，我们可以将二重积分区域 D 表示为极坐标形式：

$$D: 0 \leq r \leq 1, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$$

然后，我们可以使用极坐标变换来计算该二重积分。具体来说，我们可以将 $y^2\sqrt{1-x^2}$ 表示为 $r$ 和 $\theta$ 的函数：

$$y^2\sqrt{1-x^2} = r^2\sin^2\theta \sqrt{1-r^2\cos^2\theta}$$

因此，原始积分可以表示为：

$$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r^2\sin^2\theta\sqrt{1-r^2\cos^2\theta}r\,dr\,d\theta$$

接下来，我们可以通过对 $r$ 进行积分来计算该二重积分。具体来说，我们可以使用代换 $u = 1-r^2\cos^2\theta$，$du = -2r\cos^2\theta\,dr$：

$$\begin{aligned} I &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r^3\sin^2\theta\sqrt{1-r^2\cos^2\theta}\,dr\,d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1\frac{1}{2}\sin^2\theta\sqrt{u}\,du\,d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{3}u^\frac{3}{2}\sin^2\theta\right]_0^1\,d\theta \\ &= \frac{1}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\,d\theta \\ &= \frac{1}{6}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos2\theta)\,d\theta \\ &= \frac{\pi}{6} \end{aligned}$$

因此，原始积分的值为 $\frac{\pi}{6}$。