用换元法做∫dx/根号x^2-a^2
时间: 2023-11-13 14:18:51 浏览: 39
令x=a secθ,dx=a tanθ dθ,代入原式中得到:
∫dx/根号x^2-a^2 = ∫a tanθ dθ/根号a^2 tan^2θ
由三角恒等式,有tan^2θ + 1 = sec^2θ,即a^2 tan^2θ + a^2 = a^2 sec^2θ,所以:
∫dx/根号x^2-a^2 = ∫a tanθ dθ/根号a^2 tan^2θ = ∫a secθ dθ/a = ln|secθ + tanθ| + C
将x=a secθ代回得到:
∫dx/根号x^2-a^2 = ln|x + 根号x^2-a^2| + C
相关问题
计算∫dx/根号x^2-a^2
我们可以进行一些代数变形来求解这个积分。首先,我们可以将根号x^2-a^2写成a^2-x^2的形式,然后进行分解因式:
∫dx/根号x^2-a^2 = ∫dx/√(a^2-x^2)
= 1/√a^2 ∫dx/√(1-(x/a)^2)
现在我们可以使用反三角函数来计算这个积分。令u=x/a,则du/dx=1/a,于是我们可以进行变量代换:
∫dx/根号x^2-a^2 = 1/√a^2 ∫dx/√(1-(x/a)^2)
= 1/√a^2 ∫du/√(1-u^2/a^2)
= arcsin(u)/a + C
= arcsin(x/a)/a + C
因此,∫dx/根号x^2-a^2的积分结果为arcsin(x/a)/a + C。
设I=∫∫根号(R^2-x^2-y^2)dxdy,D是由x^2+y^2=R^2所围的闭区域,则I=?A.1/9R^3(3π-4) B.0 C.-1/9R^3(3π-4)D.2/3πR^3
我们可以使用极坐标变量来计算该积分。设$r=\sqrt{x^2+y^2}$,则有$dxdy=rdrd\theta$。当$x^2+y^2=R^2$时,$r=R$,因此积分区域变为$0\leq r\leq R$,$0\leq \theta \leq 2\pi$。
于是,原式可以写成:
$$
\begin{aligned}
I &= \iint_D \sqrt{R^2-x^2-y^2}\ dxdy \\
&= \int_0^{2\pi} \int_0^R \sqrt{R^2-r^2} \cdot r\ dr\ d\theta \\
&= 2\pi \int_0^R \sqrt{R^2-r^2} \cdot r\ dr \\
&= 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_0^{R^2} \sqrt{R^2-u}\ du \quad (令u=R^2-r^2)\\
&= \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (R^2)^{\frac{3}{2}} \\
&= \frac{1}{3}\pi R^3
\end{aligned}
$$
因此,答案为D. $I=2/3\pi R^3$。