根号下1加x^2分之一的积分

∫(1+𝑥^2)^(-1/2) d𝑥

令u=1+𝑥^2，du/dx=2x，dx=du/2x

∫(1+𝑥^2)^(-1/2) d𝑥=∫u^(-1/2) du/2x

=1/2∫u^(-1/2) du/x

=1/2(2√u)/x+C

=√(1+x^2)/x+C

其中C为积分常数。

相关问题

根号(1+x的4次方)分之一的不定积分并且写上解题过程

好的，我知道了。这是一个比较典型的有理函数积分，可以使用三角代换法来解决。

首先，我们可以令 $x=\tan^2u$，则 $dx=2\tan u\sec^2 u du$。将 $x$ 代入 $\sqrt{1+x^4}$，得到 $\sqrt{1+x^4}=\sqrt{1+\tan^4u}=\sec^2u$。

所以，原式可以转化为：

$$
\int\frac{\sqrt{1+x^4}}{x}\,dx=\int\frac{\sec^2u}{\tan^2u}\cdot 2\tan u\sec^2u\,du=2\int\frac{1}{\sin^2u}\,du=-2\cot u+C
$$

其中，$C$ 为常数。由于我们令 $x=\tan^2u$，因此需要将 $u$ 表示为 $x$ 的函数。因为 $\tan^2u=x$，所以 $u=\arctan\sqrt{x}$。

将 $\cot u$ 替换为 $\cos u/\sin u$，并将 $u$ 替换为 $\arctan\sqrt{x}$，得到最终的结果：

$$
\int\frac{\sqrt{1+x^4}}{x}\,dx=-\frac{\cos(\arctan\sqrt{x})}{\sin(\arctan\sqrt{x})}+C=-\frac{\sqrt{x^3}}{1+x^2}+C
$$

其中，$C$ 为常数。

求1/根号（2-x-x**2）关于x的积分

我们可以使用部分分式分解来解决这个积分：

首先，将分母进行因式分解：$2-x-x^2=-(x^2-x-2)=(x-2)(1-x)$。

然后，将分式拆分为两个部分：

$$\frac{1}{\sqrt{2-x-x^2}}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{1-x}$$

通过通分，我们可以得到：

$$1=A(1-x)+B(x-2)$$

令 $x=1$，则有 $-1=A-B$；令 $x=2$，则有 $1=-A$。解得 $A=1$，$B=2$。

将分式代入原积分式中，得到：

$$\int\frac{1}{\sqrt{2-x-x^2}}dx=\int\frac{1}{x-2}dx+2\int\frac{1}{1-x}dx$$

对于第一个积分，我们可以使用换元法，令 $u=x-2$，则有：

$$\int\frac{1}{x-2}dx=\ln|x-2|+C_1$$

对于第二个积分，我们同样可以使用换元法，令 $v=1-x$，则有：

$$\int\frac{1}{1-x}dx=-\ln|1-x|+C_2$$

因此，原积分式的解为：

$$\int\frac{1}{\sqrt{2-x-x^2}}dx=\ln|x-2|-2\ln|1-x|+C$$

其中 $C=C_1+2C_2$ 是积分常数。