1/[（根号下x+1）+1]的原函数

我们可以先对 1/[（根号下x+1）+1] 进行变量代换，令 u = 根号下x+1，那么有：

∫ 1/[（根号下x+1）+1] dx = ∫ 1/(u+1) × 2u dx

化简得：

∫ 1/[（根号下x+1）+1] dx = 2∫ du/(u+1)

对于第二项 ∫ du/(u+1)，它的原函数为 ln|u+1| + C，代入 u = 根号下x+1，得到：

∫ 1/[（根号下x+1）+1] dx = 2ln|根号下x+1+1| + C

因此，1/[（根号下x+1）+1] 的原函数为 2ln|根号下x+1+1| + C。其中，C 为任意常数。

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1/（根号下x+1）+1的原函数

我们可以先对 1/（根号下x+1） 进行变量代换，令 u = 根号下x+1，那么有：

∫ 1/（根号下x+1） dx = ∫ 1/u × 2u dx

化简得：

∫ 1/（根号下x+1） dx = 2∫ du/u

对于第二项 ∫ du/u，它的原函数为 ln|u| + C，代入 u = 根号下x+1，得到：

∫ 1/（根号下x+1） dx = 2ln|根号下x+1| + C

因此，1/（根号下x+1）+1 的原函数为 2ln|根号下x+1| + x + C。其中，C 为任意常数。

X倍根号下1+4X^2的原函数

这道题可以使用三角代换来解决。

我们令 $x = \frac{\tan t}{2}$，则有：

$$\begin{aligned} \sqrt{1+4x^2} &= \sqrt{1+4\left(\frac{\tan t}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} \\ &= \sqrt{\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t}} \\ &= \frac{1}{\cos t} \end{aligned}$$

同时，我们有：

$$\begin{aligned} dx &= \frac{1}{2} \sec^2 \frac{t}{2} dt \\ &= \frac{1}{2} \frac{\cos^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 t} dt \\ &= \frac{1}{2} \frac{1 + \cos t}{\cos^2 t} dt \end{aligned}$$

于是，原函数可以表示为：

$$\begin{aligned} \int x\sqrt{1+4x^2} dx &= \int \frac{\frac{\tan t}{2}}{\cos t} \cdot \frac{1}{2} \frac{1 + \cos t}{\cos^2 t} dt \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{\sin t}{\cos^3 t} dt + \frac{1}{4} \int \frac{\tan t}{\cos^2 t} dt \\ &= -\frac{1}{4\cos t} + \frac{1}{4} \ln |\cos t| + C \\ &= -\frac{\sqrt{1+4x^2}}{4x} + \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sqrt{1+4x^2}+2x}{\sqrt{1+4x^2}-2x}\right| + C \end{aligned}$$

因此，原函数为 $-\frac{\sqrt{1+4x^2}}{4x} + \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sqrt{1+4x^2}+2x}{\sqrt{1+4x^2}-2x}\right| + C$。