动态规划 哈密顿回路问题

哈密顿回路问题指的是在一个无向图中找到一条简单回路，该回路经过每个节点恰好一次。这个问题是一个经典的 NP-完全问题，意味着没有已知的多项式时间算法可以解决它。

动态规划是一种将问题分解成子问题并将其存储起来以避免重复计算的方法。对于哈密顿回路问题，可以使用动态规划来解决。具体步骤如下：

1. 定义状态：设dp[i][S]表示以i为终点，经过集合S中所有点的最短路径长度。

2. 初始化：dp[i][{i}] = 0，其他dp[i][S] = INF。

3. 状态转移：假设当前已经经过了集合S中的点，现在要从节点j到达节点i，那么dp[i][S]的值就为dp[j][S-{i}] + dis(i,j)，其中dis(i,j)表示节点i和节点j之间的距离。最终答案就是min{dp[i][(1<<n)-1]+dis(i,1)}，其中n为节点数。

这个算法的时间复杂度为O(n^22^n)，空间复杂度为O(n*2^n)。虽然时间复杂度很高，但是可以通过一些优化来降低计算量，例如状压优化、记忆化搜索等。

相关问题

证明无向图的哈密顿回路问题多项式时间规约到有向图的哈密顿回路问题

假设我们有一个无向图 $G=(V,E)$，我们要证明如何将求解其哈密顿回路问题规约到有向图的哈密顿回路问题。

首先，我们可以将无向图 G 转化为有向图 $G'=(V,E')$。对于无向图 G 中的每个边 $(u,v)$，我们可以将其替换为两条有向边 $(u,v)$ 和 $(v,u)$，即 $E' = \{(u,v),(v,u) \mid (u,v) \in E\}$。这样得到的有向图 G' 中，对于每个顶点 v，它的入度和出度都是 2.

接下来，我们将有向图 $G'=(V,E')$ 转化为有向图 $G''=(V',E'')$。对于每个顶点 v，我们在 G'' 中添加两个新的顶点 $v_{in}$ 和 $v_{out}$，并将原来指向 v 的边 $(u,v)$ 改为从 $u_{out}$ 指向 $v_{in}$，将原来从 v 出发的边 $(v,w)$ 改为从 $v_{out}$ 指向 $w_{in}$。即 $E''=\{(u_{out},v_{in}),(v_{out},w_{in}) \mid (u,v),(v,w) \in E'\}$。 对于每个顶点 v，我们可以看做是一个入度为 1，出度为 1 的点，即 $v_{in}$ 的出度为 1，$v_{out}$ 的入度为 1，这样得到的有向图 G'' 中，对于每个顶点 v，它的入度和出度都是 1.

现在我们考虑如何找到有向图 G'' 的哈密顿回路。我们可以使用 Bellman-Ford 算法来检测是否存在负权环。如果存在负权环，则 G'' 中不存在哈密顿回路。否则，我们可以使用拓扑排序来找到 G'' 的拓扑序列。由于 G'' 中每个顶点的入度和出度都是 1，因此拓扑序列中只有一条路径可以穿过每个顶点。我们可以将该路径沿用到原图 G 中，即得到了 G 的哈密顿回路。

总之，我们可以通过上述转化将无向图的哈密顿回路问题规约到有向图的哈密顿回路问题，因此无向图的哈密顿回路问题多项式时间规约到有向图的哈密顿回路问题。

请给出一个动态规划解决哈密顿回路的代码

下面是一个基于动态规划的哈密顿回路解决方案的示例代码，时间复杂度为 O(2^n * n^2)，其中 n 是图中的顶点数。

import sys

def tsp(graph):
    n = len(graph)
    memo = [[None] * (1 << n) for _ in range(n)]

    def dp(start, visited):
        if visited == (1 << n) - 1:
            return graph[start][0]
        if memo[start][visited] is not None:
            return memo[start][visited]
        res = sys.maxsize
        for i in range(n):
            if visited & (1 << i) == 0:
                res = min(res, graph[start][i] + dp(i, visited | (1 << i)))
        memo[start][visited] = res
        return res

    return dp(0, 1)

# 示例
graph = [[0, 10, 15, 20],
         [10, 0, 35, 25],
         [15, 35, 0, 30],
         [20, 25, 30, 0]]
print(tsp(graph))  # 输出 80

该代码实现了一个带备忘录的递归函数 `dp(start, visited)`，其中 `start` 表示当前所在的顶点，`visited` 是一个二进制数，表示已经访问过的顶点集合。函数返回从当前顶点出发，经过所有未访问的顶点恰好一次，最终回到起点的最短路径长度。在函数内部，首先判断是否已经访问过所有顶点，如果是直接返回从当前顶点到起点的距离；否则，遍历所有未访问的顶点，计算从当前顶点到该顶点的距离加上从该顶点出发，经过所有未访问的顶点恰好一次，最终回到起点的最短路径长度。最后，将计算结果存入备忘录并返回。

在主函数中，我们调用 `dp(0, 1)` 计算从起点 0 出发，经过所有顶点恰好一次，最终回到起点的最短路径长度。