用分治法解决“ n个选手比赛，每个选手一天比赛一次，每个选手必须与其它n-1个选手各赛一次，循环赛一共比赛n-1天，设计比赛日程表。”

这是一个经典的问题，可以使用分治法进行解决。具体的做法是将 n 个选手划分成两个组，每个组进行循环赛，这个过程需要 n / 2 天。在第 n / 2 + 1 天，将两个组互换一半选手再进行循环赛，这个过程也需要 n / 2 天。然后，将每个选手与第一天没有比赛过的选手进行比赛。这个过程需要 n - 1 天。将整个过程递归进行，直到只有两个选手进行比赛。

相关问题

设有n个运动员要进行网球循环赛。用分治法设计一个满足以下要求的比赛日程表： （1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次。 （2）每个选手一天只能赛1次。 （3）当n是偶数时循环赛进行n-1天，当n是奇数时，循环赛进行n天。 请给出主要的算法描述，并画出当n-10时的比赛日程表。

### 回答1：
算法描述：

1. 当n=2时，直接安排一场比赛。

2. 当n>2时，将n个选手分成两组，分别进行循环赛，每组的比赛日程表可以递归地使用该算法得到。

3. 将两组选手的比赛日程表合并，得到完整的比赛日程表。

4. 对于奇数n，将其中一个选手固定不动，其他n-1个选手进行循环赛，最后再让这个选手与其他选手轮流比赛。

比赛日程表：

当n=10时，可以将10个选手分成两组：1-5和6-10。每组进行5天的循环赛，得到以下比赛日程表：

第一组：

1 vs 2 3 vs 4 5 vs 6 7 vs 8 9 vs 10
1 vs 3 2 vs 5 4 vs 7 6 vs 9 8 vs 10
1 vs 4 2 vs 6 3 vs 8 5 vs 10 7 vs 9
1 vs 5 2 vs 7 3 vs 9 4 vs 10 6 vs 8
1 vs 6 2 vs 8 4 vs 9 5 vs 7 3 vs 10

第二组：

6 vs 7 8 vs 9 10 vs 1 2 vs 3 4 vs 5
6 vs 8 7 vs 10 1 vs 4 3 vs 5 2 vs 9
6 vs 9 7 vs 1 2 vs 4 5 vs 8 3 vs 10
6 vs 10 8 vs 1 3 vs 4 2 vs 5 7 vs 9
7 vs 8 9 vs 1 4 vs 6 3 vs 2 5 vs 10

将两组的比赛日程表合并，得到完整的比赛日程表：

1 vs 6 2 vs 8 4 vs 9 5 vs 7 3 vs 10
6 vs 7 8 vs 9 10 vs 1 2 vs 3 4 vs 5
1 vs 5 2 vs 7 3 vs 9 4 vs 10 6 vs 8
7 vs 10 1 vs 4 3 vs 5 2 vs 9 6 vs 9
2 vs 5 4 vs 7 6 vs 10 8 vs 1 3 vs 8
5 vs 10 7 vs 1 2 vs 4 3 vs 6 8 vs 9
1 vs 4 2 vs 6 3 vs 8 5 vs 9 7 vs 10
6 vs 8 7 vs 9 1 vs 3 2 vs 10 4 vs 6
3 vs 4 5 vs 8 6 vs 9 7 vs 1 2 vs 7
4 vs 9 5 vs 6 1 vs 2 3 vs 7 8 vs 10
7 vs 8 9 vs 1 4 vs 6 3 vs 2 5 vs 10
2 vs 3 4 vs 5 6 vs 7 8 vs 10 1 vs 9
3 vs 5 1 vs 7 2 vs 9 4 vs 10 6 vs 8
1 vs 2 3 vs 7 4 vs 8 5 vs 10 6 vs 9
2 vs 4 6 vs 7 8 vs 10 1 vs 3 5 vs 9
3 vs 6 4 vs 7 5 vs 8 1 vs 10 2 vs 8
4 vs 6 5 vs 7 1 vs 8 2 vs 10 3 vs 9
5 vs 6 1 vs 9 2 vs 8 3 vs 10 4 vs 7
1 vs 3 2 vs 5 4 vs 7 6 vs 9 8 vs 10
6 vs 10 8 vs 1 3 vs 4 2 vs 5 7 vs 9
1 vs 6 2 vs 8 4 vs 9 5 vs 7 3 vs 10
7 vs 10 1 vs 4 3 vs 5 2 vs 9 6 vs 9
2 vs 5 4 vs 7 6 vs 10 8 vs 1 3 vs 8
5 vs 10 7 vs 1 2 vs 4 3 vs 6 8 vs 9
1 vs 4 2 vs 6 3 vs 8 5 vs 9 7 vs 10
6 vs 8 7 vs 9 1 vs 3 2 vs 10 4 vs 6
3 vs 4 5 vs 8 6 vs 9 7 vs 1 2 vs 7
4 vs 9 5 vs 6 1 vs 2 3 vs 7 8 vs 10
7 vs 8 9 vs 1 4 vs 6 3 vs 2 5 vs 10
2 vs 3 4 vs 5 6 vs 7 8 vs 10 1 vs 9
3 vs 5 1 vs 7 2 vs 9 4 vs 10 6 vs 8
1 vs 2 3 vs 7 4 vs 8 5 vs 10 6 vs 9
2 vs 4 6 vs 7 8 vs 10 1 vs 3 5 vs 9
3 vs 6 4 vs 7 5 vs 8 1 vs 10 2 vs 8
4 vs 6 5 vs 7 1 vs 8 2 vs 10 3 vs 9
5 vs 6 1 vs 9 2 vs 8 3 vs 10 4 vs 7

### 回答2：
算法描述：

1.当n为偶数时，将n个选手分为两组。

2.在每一天，每组中的选手进行比赛，并按照循环赛的方式进行排名，保持较强的选手组和较弱的选手组。

3.在第i天，较弱的选手组与较强的选手组的选手进行比赛，使得每个选手都与其他选手进行比赛。

4.重复步骤2-3，直到进行n-1天。

5.当n为奇数时，对于前n-1个选手，按照偶数的方式进行循环赛，然后选择一个选手和其他n-1个选手进行比赛。

6.重复步骤2-3，直到进行n天。

比赛日程表：

当n为10时，可以将选手分为两组（A组和B组）：

第一天：A1 vs B1，A2 vs B2，A3 vs B3，A4 vs B4，A5 vs B5

第二天：A1 vs B2，B1 vs A5，A2 vs B3，B4 vs A5，A3 vs B5

第三天：A1 vs B3，B2 vs A4，A5 vs B4，B1 vs A3，A2 vs B5

第四天：A1 vs B4，A3 vs B2，B5 vs A4，B1 vs A2，A5 vs B3

第五天：A1 vs B5，B4 vs A2，A3 vs B1，B3 vs A4，A5 vs B2

第六天：A2 vs B1，A3 vs B4，B2 vs A5，A1 vs B5，A4 vs B3

第七天：A4 vs B1，B5 vs A2，B3 vs A3，A1 vs B2，A5 vs B4

第八天：A5 vs B1，B3 vs A2，A4 vs B2，B4 vs A3，A1 vs B5

第九天：A2 vs B4，B3 vs A1，A5 vs B3，B1 vs A4，A3 vs B5

共进行9天。

### 回答3：
算法描述：

1. 当n为偶数时，将n个选手均分为两组，分别为A组和B组，每组n/2个选手。进行n/2轮比赛，每轮比赛A组的选手与B组的选手按相同规则配对比赛。

2. 当n为奇数时，先将n个选手均分为两组，分别为A组和B组，每组(n-1)/2个选手。进行(n-1)/2轮比赛，每轮比赛A组的选手与B组的选手按相同规则配对比赛。之后，将A组中的最后一个选手与B组中最后一个选手进行比赛。

3. 每轮比赛后，A组中的选手循环轮换，最后一个选手移动到第一个位置；B组中的选手则不变。这样可以确保每个选手在比赛中与不同的选手配对，且每个选手每天只比赛一次。

4. 重复以上步骤，直到进行了n-1（或n）轮比赛为止。

比赛日程表：

以n=10为例，按照上述算法描述，比赛日程表如下：

第一天：1vs10，2vs9，3vs8，4vs7，5vs6
第二天：1vs9，10vs8，2vs7，3vs6，4vs5
第三天：1vs8，9vs7，10vs6，2vs5，3vs4
第四天：1vs7，8vs6，9vs5，10vs4，2vs3
第五天：1vs6，7vs5，8vs4，9vs3，10vs2
第六天：1vs5，6vs4，7vs3，8vs2，9vs10
第七天：1vs4，5vs3，6vs2，7vs10，8vs9
第八天：1vs3，4vs2，5vs10，6vs9，7vs8
第九天：1vs2，3vs10，4vs9，5vs8，6vs7

每个选手都与其他九个选手各赛一次，且每个选手每天只比赛一次。

循环日程安排问题 分数 10 作者 王东 单位 贵州师范学院 用分治法求解循环日程安排问题。设有n=2 k 个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表： （1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次。 （2）每个选手一天只能赛一次。 （3）循环赛在n-1天之内结束

循环日程安排问题是一个经典的组合优化问题，可以使用分治法来求解。具体的解决方案如下：

1. 如果选手数目n为1，那么日程表为空。

2. 如果选手数目n为2，那么日程表为：

第一天：1 vs 2

第二天：2 vs 1

3. 如果选手数目n为偶数，那么分为两组，分别进行比赛。每组选手数目为n/2，比赛天数为T(n/2)。然后构造一个新的选手，将它与每组的第一个选手进行比赛，比赛天数为n/2。这样总共需要T(n/2) + n/2天。然后将这个新选手剔除，对剩下的选手进行递归处理，直到选手数目为2。

4. 如果选手数目n为奇数，那么先将一个选手剔除，对剩下的选手进行递归处理，得到一个日程表。然后将这个剔除的选手与其他选手轮流比赛，比赛天数为n-1。这样总共需要T((n-1)/2) + n-1天。

通过分治法，可以在O(nlogn)的时间内求解循环日程安排问题。