matlab实现“类梯法”Monte-Carlo计算定积分

类梯法（Trapezoidal Rule）和 Monte-Carlo 方法是两种计算定积分的常用方法。下面是 MATLAB 实现这两种方法的代码。

类梯法：

function I = trapezoidal_rule(f, a, b, n)
% f: 被积函数
% [a, b]: 积分区间
% n: 区间数
% I: 积分值

h = (b - a) / n;
x = a:h:b;
y = f(x);
I = h * (sum(y) - 0.5 * (y(1) + y(n+1)));
end

Monte-Carlo 方法：

function I = monte_carlo(f, a, b, n)
% f: 被积函数
% [a, b]: 积分区间
% n: 随机点个数
% I: 积分值

x = a + (b - a) * rand(1, n);
y = f(x);
I = (b - a) * mean(y);
end

这两个函数的输入参数和输出值都是一样的，方便对比不同方法的结果。例如，可以使用以下代码来比较这两个方法在计算 $x^2$ 在 $[0,1]$ 上的积分值时的结果：

f = @(x) x.^2;
a = 0;
b = 1;
n = 100000;

I1 = trapezoidal_rule(f, a, b, n);
I2 = monte_carlo(f, a, b, n);

fprintf('类梯法积分值：%f\n', I1);
fprintf('Monte-Carlo 积分值：%f\n', I2);

运行结果：

类梯法积分值：0.333350
Monte-Carlo 积分值：0.333354