正交矩阵的逆和它的转置相等吗
时间: 2023-11-30 15:02:38 浏览: 95
对于一个正交矩阵 $Q$,有 $Q^TQ=I$,其中 $I$ 是单位矩阵。
因此,我们可以通过两边同时取转置来得到:
$$(Q^TQ)^T=I^T$$
由于 $I$ 是对称矩阵,即 $I^T=I$,因此上式可以简化为:
$$Q^T(Q^T)^T=I$$
又因为 $Q^T$ 也是正交矩阵,所以有 $(Q^T)^TQ^T=I$。
因此,正交矩阵 $Q$ 的逆矩阵为 $Q^{-1}=Q^T$,即正交矩阵的逆等于它的转置。
相关问题
如何验证旋转矩阵是正交矩阵你
可以通过以下两种方法验证旋转矩阵是否为正交矩阵:
1. 检查矩阵的转置和逆矩阵是否相等。
如果一个矩阵是正交矩阵,它的转置矩阵和逆矩阵相等。因此,可以通过计算旋转矩阵的转置和逆矩阵,如果它们相等,则旋转矩阵是正交矩阵。
2. 检查矩阵的列向量是否正交且长度为1。
一个矩阵是正交矩阵,当且仅当它的列向量是正交的且长度为1。因此,可以通过计算旋转矩阵的列向量之间的点积,如果它们互相正交且长度为1,则旋转矩阵是正交矩阵。
无论哪种方法,如果旋转矩阵是正交矩阵,则它可以用于表示旋转操作,并且保持向量的长度和角度不变。
怎么判断一个矩阵是正交矩阵
一个矩阵是正交矩阵的判断方法是:
1. 检查矩阵的转置与其逆矩阵是否相等。如果一个矩阵 A 的转置等于其逆矩阵 A^-1,即 A^T = A^-1,则矩阵 A 是正交矩阵。
2. 检查矩阵的每一列是否互相正交。如果一个矩阵的每一列向量两两正交(即内积为零),并且每个列向量的模长为1(即单位向量),则矩阵是正交矩阵。
3. 检查矩阵的每一行是否互相正交。如果一个矩阵的每一行向量两两正交,并且每个行向量的模长为1,则矩阵也是正交矩阵。
通过以上方法进行检查,如果满足其中任意一种情况,则可以确定一个矩阵是正交矩阵。
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