若一个图中的每一条边能给它定一个方向，使得所得到的有向图强连通，则称这个图是可定向的。证明哈密顿图是可定向的

首先，我们需要明确一个定理：一个有向图强连通当且仅当它有一个拓扑序列。拓扑序列意味着对于任意一条有向边，它所指向的节点必定在序列中出现在该边所指出的节点之后。

现在我们考虑一个有向哈密顿图。由于它是哈密顿图，我们知道它至少有一个哈密顿回路。我们可以通过依次遍历哈密顿回路中的节点，在它们之间建立有向边，使得最终得到的有向图是强连通的。

接下来我们考虑如何给这个有向图定向，使得它仍然是强连通的。我们可以沿着哈密顿回路的方向，将所有的边都指向它们在哈密顿回路中的后继节点。由于哈密顿回路是哈密顿图的性质，每个节点都在哈密顿回路中，所以每个节点在这个方向下都有后继节点，因此这个有向图仍然是强连通的。

综上所述，我们可以得出结论：哈密顿图是可定向的。

相关问题

若一个图中的每一条边能给它定一个方向，使得所得到的有向图强连通，则称这个图是可定向的。证明欧拉图是可定向的

假设原始的欧拉图为 $G=(V,E)$，我们可以将其转化为有向图 $D=(V,A)$，其中 $A=\{(u,v) \mid \{u,v\}\in E\}$，即将每条边的方向都定向为起点指向终点。

由于欧拉图中每个点的度数都为偶数，则有对于任意一个点 $v\in V$，它的入度和出度均为偶数。我们需要证明 $D$ 中任意两个点 $u$ 和 $v$ 都可以互相到达，即 $D$ 是强连通的。

考虑在 $D$ 中选取任意两个点 $u$ 和 $v$，我们需要证明存在一条 $u$ 到 $v$ 的路径和一条 $v$ 到 $u$ 的路径。

由于 $G$ 是欧拉图，因此 $G$ 中存在一条经过所有顶点的欧拉回路 $C$。由于 $D$ 中每条边的方向都是由 $G$ 中的边来确定，因此 $C$ 在 $D$ 中对应的路径 $P$ 一定会从 $u$ 出发经过 $v$，之后会回到 $u$，最终到达 $v$。因此，$u$ 可以到达 $v$。

同理，我们可以找到另一条经过所有顶点的欧拉回路 $C'$，使得 $C'$ 在 $D$ 中对应的路径 $P'$ 从 $v$ 出发经过 $u$，之后会回到 $v$，最终到达 $u$。因此，$v$ 可以到达 $u$。

因此，$D$ 是强连通的，即欧拉图是可定向的。

设无向连通图有n个顶点e条边，若满足 ，则图中一定有回路。

根据图论中的欧拉公式，对于一个无向连通图，有：

n - e + f = 1

其中，n是顶点数，e是边数，f是图的连通分量数。对于一棵树而言，它是一个无向连通图，但是它没有回路，因此f=1。将这个值带入欧拉公式中，得到：

n - e + 1 = 1

即：

n = e

因此，如果一个无向连通图满足n=e，则它一定有回路。这是因为，如果一张无向图没有回路，那么它一定是一棵树，此时n=e+1，不符合上述条件。反之，如果n=e且它没有回路，那么它的连通分量数f大于1，根据欧拉公式，n-e+f不等于1，与条件矛盾。因此，一个无向连通图满足n=e时，一定有回路。