能举一个不动点迭代求解多元非线性方程组的例子吗

考虑以下三元非线性方程组：

\begin{align}
x_1^2 - x_2 + x_3 &= 0 \\
x_2^2 - x_3 + x_1 &= 0 \\
x_3^2 - x_1 + x_2 &= 0
\end{align}

我们可以将其写成向量形式：

$$\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}
x_1^2 - x_2 + x_3 \\
x_2^2 - x_3 + x_1 \\
x_3^2 - x_1 + x_2
\end{pmatrix} = \mathbf{0}$$

接下来考虑使用不动点迭代法求解。我们可以将方程组改写为 $\mathbf{x} = \mathbf{g}(\mathbf{x})$ 的形式，其中 $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ 是一个将 $\mathbf{x}$ 映射到一个新向量的函数。为了得到 $\mathbf{g}(\mathbf{x})$，我们将每个方程移项并将 $x_i$ 移动到方程左边，得到：

\begin{align}
x_1 = \sqrt{x_2 - x_3} \\
x_2 = \sqrt{x_3 - x_1} \\
x_3 = \sqrt{x_1 - x_2}
\end{align}

然后我们可以将这些等式组合起来得到 $\mathbf{g}(\mathbf{x})$：

$$\mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}
\sqrt{x_2 - x_3} \\
\sqrt{x_3 - x_1} \\
\sqrt{x_1 - x_2}
\end{pmatrix}$$

现在我们可以使用不动点迭代法求解该方程组。我们从一个初始向量 $\mathbf{x}^{(0)}$ 开始，然后反复应用 $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ 直到收敛：

$$\mathbf{x}^{(k+1)} = \mathbf{g}(\mathbf{x}^{(k)})$$

当 $\mathbf{x}^{(k)}$ 趋近于一个稳定的不动点时，我们可以认为我们已经找到了该方程组的解。