【MATLAB fsolve技巧全解析】：非线性方程求解的终极指南（20年精华总结）


参考资源链接：[MATLAB fsolve函数详解：求解非线性方程组](https://wenku.csdn.net/doc/6471b45dd12cbe7ec3017515?spm=1055.2635.3001.10343)
# 1. MATLAB中非线性方程求解的基础

在科学研究与工程领域中，非线性方程求解是解决复杂问题的基石。本章将介绍非线性方程求解的基本概念以及在MATLAB环境下进行此类问题求解的必要条件和理论基础。

## 1.1 非线性方程概述

非线性方程是数学中一类不能通过简单的代数方法求解的方程，其特点是解的分布非常复杂，可能包括多个解以及解的局域性等。它们在物理、化学、生物和工程等众多领域中都有广泛的应用。

## 1.2 MATLAB求解环境的搭建

MATLAB（Matrix Laboratory）是美国MathWorks公司出品的一款高性能数值计算环境和编程语言。它的强大之处在于提供了一系列内置函数，尤其针对非线性方程求解提供了专门的工具箱函数fsolve。在使用这些工具之前，我们需熟悉MATLAB的基础操作和编程环境。

## 1.3 非线性方程求解的数学原理

非线性方程求解通常涉及到数值方法，这些方法包括牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等。每一种方法都有其适用范围和局限性。在MATLAB中，fsolve函数通常采用牛顿法和其改进版本作为核心算法，配合迭代搜索等策略。

通过本章的学习，读者将建立起对非线性方程求解的初步认识，并掌握MATLAB求解环境的搭建，为后续章节学习打下坚实的基础。

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# 第二章：fsolve函数的基本使用方法

## 2.1 fsolve函数的参数介绍

### 2.1.1 输入参数的意义和选择

在MATLAB中，`fsolve` 是一个强大的函数，用于求解非线性方程组。它可以处理具有多个变量的复杂系统。首先，我们需要了解`fsolve`的输入参数，它们决定了函数如何运行，以及求解结果的准确性。

`fsolve` 主要有两种输入参数：目标方程组以及初始猜测值。

[x, fval, exitflag, output, Jacobian] = fsolve(fun, x0, options, p1, p2, ...)

其中，`fun` 是一个定义方程组的函数句柄，`x0` 是一个初始猜测解向量，`options` 是可选参数，允许用户自定义求解器的行为，`p1, p2, ...` 是可以传递给函数 `fun` 的其他参数。

在选择初始猜测值 `x0` 时，应该基于非线性方程组的物理意义或领域知识。一个好的初始猜测值能极大地提高 `fsolve` 的收敛速度，并提高找到解的概率。

### 2.1.2 输出参数的解析和应用场景

`fsolve` 的输出参数包含了丰富的信息，对于分析求解结果和调试问题非常有用。

- `x`：求解得到的方程组的解。
- `fval`：方程组在解 `x` 处的函数值。
- `exitflag`：求解器退出的标志，可以用来判断求解过程是否成功。
- `output`：包含关于求解过程的详细信息的结构体。
- `Jacobian`：如果计算出来，是解 `x` 处的雅可比矩阵。

`exitflag` 参数很重要，因为它可以帮助我们识别求解过程是否达到了预期状态。例如，`exitflag` 等于 1 时，意味着函数成功收敛到解；如果等于 0，则表示求解器达到迭代次数上限而未能收敛。

`output` 结构体提供了关于求解器行为的详细报告，其中 `output.iterations` 显示了迭代次数，而 `output.funcCount` 显示了函数评估次数。这些信息对于评价求解器性能和进行后续优化至关重要。

## 2.2 fsolve函数简单实例分析

### 2.2.1 单个非线性方程求解示例

为了理解`fsolve`函数的基础使用方法，我们从一个简单的单变量非线性方程开始。

考虑方程：`f(x) = x^2 - 4 = 0`，我们需要找到这个方程的根。

以下是MATLAB代码示例：

% 定义目标方程
fun = @(x) x^2 - 4;

% 初始猜测解
x0 = 1;

% 调用fsolve函数
[x, fval, exitflag, output] = fsolve(fun, x0);

% 显示结果
disp(['解为：', num2str(x)]);
disp(['函数值为：', num2str(fval)]);
disp(['退出标志：', num2str(exitflag)]);
disp(['迭代次数：', num2str(output.iterations)]);

在这个例子中，由于方程相对简单，`fsolve` 能够快速找到准确解。输出结果中，`x` 应该非常接近于 2 或 -2，因为这是方程的两个根。

### 2.2.2 多个非线性方程组求解示例

现在我们来处理更复杂的情况，求解以下方程组：

f1(x,y) = x^2 + y^2 - 4 = 0
f2(x,y) = x*y - 1 = 0

我们同样使用`fsolve`函数：

% 定义目标方程组
fun = @(v) [v(1)^2 + v(2)^2 - 4; v(1)*v(2) - 1];

% 初始猜测解向量
x0 = [1; 1];

% 调用fsolve函数
[x, fval, exitflag, output] = fsolve(fun, x0);

% 显示结果
disp(['解为：']);
disp(x);
disp(['函数值为：']);
disp(fval);
disp(['退出标志：']);
disp(exitflag);
disp(['迭代次数：']);
disp(output.iterations);

在这个例子中，`fsolve`将返回一个解向量`x`，以及方程组在该解处的函数值`fval`。由于这是一个有两个未知数的方程组，所以解是二维向量。

## 2.3 fsolve函数选项设置

### 2.3.1 方程求解器的选择和配置

MATLAB提供了不同的求解器选项，可以通过`optimoptions`函数和`optimset`函数来设置。例如，我们可以改变内部使用的算法，调整迭代次数限制，或者设置收敛条件等。

% 创建默认选项
options = optimoptions('fsolve','Display','iter','Algorithm','trust-region-dogleg');

% 使用设置的选项
[x, fval, exitflag, output] = fsolve(fun, x0, options);

% 显示配置和结果
disp(options);

在这个例子中，我们设置了求解器显示每次迭代的信息，并指定了使用狗腿信任区域算法 (`trust-region-dogleg`)。

### 2.3.2 迭代次数和收敛条件的设定

`fsolve`函数允许我们控制求解过程中的迭代次数和收敛条件。例如，我们可能需要增加最大迭代次数以让求解器有更多机会找到解，或者指定解的精度。

% 创建选项并设置最大迭代次数和目标函数容差
options = optimoptions('fsolve','MaxIterations',1000,'FunctionTolerance',1e-6);

% 使用选项
[x, fval, exitflag, output] = fsolve(fun, x0, options);

在这个例子中，我们提高了迭代次数上限至1000次，并且将收敛容差降低至1e-6。这意味着求解器将进行更多的尝试，并且会认为只有当函数值下降到小于或等于1e-6时才收敛。

通过这样的设置，`fsolve`能够适应不同问题的需求，并在需要时提供更细致的控制。

# 3. fsolve高级技巧与应用

## 3.1 定制化求解器的创建

### 3.1.1 非线性方程求解策略的定制

在解决复杂的非线性方程问题时，使用MATLAB内置的fsolve函数可能无法直接获得令人满意的结果。这可能是因为默认的求解策略不适用于特定的方程类型或结构。因此，定制化求解器变得十分必要。定制化求解器涉及到调整求解策略、选择合适的初始猜测值以及可能地调整算法参数等。

在MATLAB中，可以通过定义一个包含求解算法的函数句柄来创建定制化求解器。该函数句柄将封装求解策略并能在fsolve中被使用。例如，可以创建一个基于梯度下降法的求解器，适用于求解目标函数具有特定梯度特性的非线性方程。

function x = customSolver(F, x0, options)
% 这里x0是初始猜测值，options是可选的算法选项
% 使用梯度下降法
alpha = 0.01; % 学习率
maxIter = 1000; % 最大迭代次数
tol = 1e-6; % 收敛容忍度
x = x0;
for i = 1:maxIter
gradF = computeGradient(F, x); % 计算梯度
x_new = x - alpha * gradF; % 更新解
if norm(x_new - x, inf) < tol % 检查收敛性
break;
end
x = x_new;
end
end

function grad = computeGradient(F, x)
% 计算目标函数在x处的梯度
% 这里需要具体实现梯度的计算，可能涉及到符号计算或数值近似
end

在上述代码中，`customSolver`是一个自定义的求解函数，它使用梯度下降法来迭代寻找非线性方程的根。`computeGradient`函数用于计算方程在当前点的梯度，这需要根据实际问题来具体实现。

### 3.1.2 用户定义的函数和参数传递

在自定义求解器时，通常需要将额外的参数传递给用户定义的函数。MATLAB提供了一些方法来实现这一目标。例如，可以使用`argnames`函数来指定需要传递给函数的参数名称。此外，还可以通过匿名函数或嵌套函数来封装参数，使得用户定义的求解器更加灵活。

% 定义一个匿名函数来封装参数
f = @(x, param1, param2) ...; % 用户定义的函数体

% 或者创建一个嵌套函数，这样也可以隐藏一些参数
function result = mySolver(x)
param1 = ...; % 一些外部参数
param2 = ...; % 一些外部参数
function res = myFunction(x)
% 在这里使用param1和param2
res = ...;
end
result = myFunction(x);
end

通过这种方式，用户可以创建既复杂又灵活的求解器，以满足特定类型非线性方程求解的需要。需要注意的是，在封装参数时，应当保证这些参数能被正确地传递和使用，以避免在求解过程中出现逻辑错误。

## 3.2 多变量非线性方程求解

### 3.2.1 多变量方程的求解技巧

多变量非线性方程组的求解比单变量求解更为复杂，通常需要使用到更高级的求解技术。在MATLAB中，可以使用fsolve函数来求解这类方程组。为了提高求解的效率和成功率，可以采取以下几种技巧：

1. **初始猜测值选择**：选择恰当的初始猜测值是求解非线性方程组的关键。一个好的初始猜测值通常接近方程组的真实解，可以显著减少求解所需的迭代次数，甚至避免算法陷入局部最小解。

2. **雅可比矩阵（Jacobian）**：对于多变量方程组，求解器通常需要计算方程组的雅可比矩阵。了解如何有效地计算雅可比矩阵，或者提供一个数值近似的方法，往往能提高求解速度。

3. **多解情况的处理**：多变量非线性方程组可能存在多个解。为了找到所有的解，可以尝试改变初始猜测值，并重复求解过程。此外，也可以结合全局优化方法，寻找在给定定义域内的所有局部最小值。

### 3.2.2 实际物理问题的模型应用

多变量非线性方程组在实际物理问题中广泛应用，例如在多体动力学、热力学系统、流体力学等领域。使用fsolve求解此类模型时，通常需要将物理问题转化为数学方程，然后应用适当的边界条件和初始条件。

以一个热力学系统的模拟为例，假设需要找到一个系统在给定温度和压力下的稳定状态。这时，可以建立热力学方程组，包括质量守恒、能量守恒以及状态方程，并使用fsolve来求解系统的稳定状态。

% 定义一个热力学系统模型的非线性方程组
function F = thermodynamicsModel(x)
T = x(1); % 温度
P = x(2); % 压力
% ... 计算根据物理模型得出的理论值
F = ...;
end

% 使用fsolve求解
x0 = [初始温度; 初始压力];
options = optimoptions('fsolve', 'Display', 'iter'); % 显示迭代过程
[x, fval, exitflag, output] = fsolve(@thermodynamicsModel, x0, options);

在上述代码中，`thermodynamicsModel`函数代表了热力学模型的数学方程组，`x`是包含温度和压力的向量。fsolve将被用来求解这些方程组，其中`x0`是初始猜测值，`options`用于设置求解器选项，比如显示每步的迭代信息。

## 3.3 fsolve在不同领域的应用案例

### 3.3.1 工程问题中的应用实例

在工程领域，fsolve经常被用来解决设计问题、控制问题、信号处理等非线性问题。例如，在结构工程中，一个桥梁结构的非线性振动分析需要求解包含非线性弹簧和阻尼器的动态方程。fsolve能够辅助工程师确定在不同荷载条件下结构的响应。

% 假设有一个非线性动态系统的方程组
function F = nonlinearVibrationModel(x)
% x包含了系统的状态变量
% 这里使用简化的动态方程
F = ...;
end

% 使用fsolve进行求解
x0 = [初始状态1; 初始状态2; ...];
options = optimoptions('fsolve', 'Display', 'iter');
[x, fval, exitflag, output] = fsolve(@nonlinearVibrationModel, x0, options);

在这个例子中，`nonlinearVibrationModel`函数封装了桥梁结构非线性振动的数学模型，fsolve用于找到在特定荷载下的稳态振动响应。

### 3.3.2 生物学和化学反应模型的求解

生物化学领域是fsolve应用的另一个典型例子。在模拟生物化学反应时，需要解决大量的非线性动力学方程组。例如，在研究酶促反应动力学时，可以使用fsolve来确定反应速率常数。

% 生物化学反应模型的非线性方程组
function F = biochemicalReactionModel(k, t)
% k是反应速率常数的向量，t是时间
% 这里使用简化的模型方程
F = ...;
end

% 求解时需要优化反应速率常数k
k0 = [初始速率常数1; 初始速率常数2; ...];
options = optimoptions('fsolve', 'Display', 'iter');
[k, fval, exitflag, output] = fsolve(@(k) biochemicalReactionModel(k, t), k0, options);

在这个代码段中，`biochemicalReactionModel`函数封装了酶促反应的动力学模型，fsolve用来优化反应速率常数。这是通过将速率常数作为优化变量，求解优化问题来实现的。

### 3.3.3 fsolve与其他求解技术的结合

在某些复杂问题中，单独使用fsolve可能无法获得好的求解结果。这时，可以考虑将fsolve与其他数值方法或算法相结合使用。例如，可以先使用遗传算法或粒子群优化等全局优化方法来获得一个较好的初始猜测值，再用fsolve进行精确求解。

% 使用遗传算法获得初始猜测值
% 这里使用MATLAB内置的gamultiobj函数作为示例
[x0, fval] = gamultiobj(@(x) -nonlinearObjective(x), ..., 'Display', 'iter');

% 然后使用fsolve进行精确求解
options = optimoptions('fsolve', 'Display', 'iter');
[x, fval, exitflag, output] = fsolve(@nonlinearEquations, x0, options);

在这个例子中，`gamultiobj`函数用来优化一个非线性目标函数`nonlinearObjective`，找到最小值时的参数值`x0`。然后，`fsolve`用这个值作为初始猜测值来精确求解非线性方程组。

结合不同的求解技术是解决非线性问题的一个重要策略。通过将全局优化与局部精确求解结合，可以更高效地找到问题的全局最优解或可行解。


在这些高级应用和技巧中，我们深入探讨了如何利用fsolve解决多变量非线性方程组问题，并且探索了在不同领域应用fsolve解决实际问题的方法。本章节的内容进一步扩展了fsolve的使用范围，展示了其在多种科学工程问题中的实用性。通过高级技巧的学习与应用，读者可以更熟练地运用fsolve来解决更加复杂的非线性问题。

# 4. fsolve的调试与性能优化

## 4.1 调试技巧与常见问题解决

### 4.1.1 调试fsolve求解过程

在使用fsolve求解非线性方程时，可能遇到各种问题，包括求解器无法找到解、求解速度过慢、求解结果不准确等。调试求解过程是解决这些问题的关键步骤。MATLAB提供了多种调试工具，其中最常用的是`odeoptions`函数，它允许我们设置和检查求解器选项。

例如，可以使用以下代码来检查和设置fsolve的选项：

% 创建一个默认的fsolve选项结构
opts = optimoptions('fsolve');

% 显示当前的选项设置
disp(opts);

% 修改特定选项
opts.Display = 'iter'; % 显示每次迭代的信息
opts.MaxFunEvals = 1000; % 最大函数评估次数

% 应用修改后的选项
fsolve(@myfun, x0, opts);

在上述代码中，`myfun`是待求解的非线性方程函数，`x0`是初始猜测解，`opts`是fsolve的选项设置。通过设置`Display`选项为`'iter'`，可以在求解过程中输出每一步的迭代信息，这有助于了解求解器在哪个阶段遇到问题。

### 4.1.2 常见错误和警告的处理方法

在使用fsolve时，可能会遇到一些常见错误或警告，例如`trust-region-dogleg`算法可能因为无法找到合适的步长而报错。面对这种情况，可以通过调整算法参数来处理，如切换到`'levenberg-marquardt'`算法。

对于警告信息，比如求解器未能满足容差要求而停止，可能需要改善问题的设置，或者检查初始猜测解是否合理。当初始猜测解与实际解相差甚远时，求解器可能难以找到正确的路径。

## 4.2 fsolve求解器性能分析

### 4.2.1 性能瓶颈的识别

性能瓶颈通常出现在函数计算次数过多或算法迭代次数过多的情况下。当fsolve在某一步迭代中无法快速前进时，可能表明存在性能瓶颈。可以通过MATLAB的性能分析工具Profilier来分析哪些部分的计算消耗最多时间。

以下是一个使用Profiler工具的简单示例：

% 开启Profiler工具
profile on;

% 运行fsolve求解过程
x = fsolve(@myfun, x0, opts);

% 关闭Profiler工具
profile off;

% 查看性能报告
report;

在这个例子中，`report`命令会生成一个详细的性能报告，报告中会列出耗时最多的函数和代码区域，这对于识别和解决性能瓶颈非常有帮助。

### 4.2.2 求解速度和准确性的优化策略

优化fsolve求解速度和准确性的策略主要包括：

- 选择合适的算法：根据问题的特性选择最适合的算法，如二分法、牛顿法或梯度下降法等。
- 调整初始猜测解：合理设置初始猜测解可以显著加快求解速度。
- 精细设置求解器选项：例如，合理设置容差、函数评估次数、迭代次数限制等。
- 使用并行计算：如果问题是可并行化的，可以利用MATLAB的并行计算工具箱来加速计算。

## 4.3 算法比较与选择指南

### 4.3.1 fsolve与其他求解算法的对比

fsolve并不是求解非线性方程的唯一方法。它与其他方法相比有其优势也有局限性。比如，牛顿法具有快速收敛的优点，但可能需要一个好的初始猜测解，并且在接近解时可能会遇到奇异性问题。梯度下降法在处理大规模问题时可能更有效，但需要选择合适的步长。

以下是一个简单的比较表格：

| 算法名称       | 优点                                                         | 局限性                                                     |
| -------------- | ------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------------- |
| fsolve         | 自动选择合适的算法和参数，易于使用                           | 需要足够的函数评估次数，可能存在局部解问题                 |
| 牛顿法         | 收敛速度快                                                   | 可能需要好的初始猜测解，对初始猜测解敏感                   |
| 梯度下降法     | 对大规模问题有效，实现简单                                   | 收敛速度可能较慢，需要选择合适的步长                       |
| 二分法         | 稳定可靠                                                     | 只适用于单调函数，解的范围受限                             |

### 4.3.2 如何根据问题特性选择合适的算法

选择合适算法的过程应考虑问题的特性，如方程的数量、维数、解的性质（全局解或局部解）、初始猜测解的可用性等。

- 对于小型或中等规模的问题，如果对解的特性有足够的了解，fsolve是一个不错的选择。
- 当问题规模较大时，可考虑使用并行计算结合梯度下降法。
- 如果问题的函数形式是单调的，二分法或线搜索方法可能是更稳定的选择。
- 如果问题方程数量不多，但维数很高，可以尝试使用遗传算法或模拟退火算法等全局优化方法。

通过对比不同算法的优缺点，并结合具体问题的实际情况，可以更有效地选择出最合适的求解策略。

# 5. fsolve的理论深化与案例研究

## 5.1 非线性方程理论基础复习

### 5.1.1 非线性方程的分类和特性

非线性方程广泛应用于各种科学和工程领域，其分类方式多样，根据方程的形式和解的性质可以分为不同的类别。常见的非线性方程包括多项式方程、指数方程、对数方程、三角方程等。相比于线性方程，非线性方程的一个显著特点是其解的分布更复杂，可能存在多个局部解，且方程的根可能不连续。

在MATLAB环境中，特别是在使用fsolve函数时，我们经常遇到的非线性方程类型包括但不限于：

- **代数方程**：没有导数的方程，通常解为数值。
- **微分方程**：含有未知函数的导数，解通常包括函数及其导数的信息。
- **动态系统**：在时间演化的非线性系统，如常微分方程组（ODEs）和偏微分方程（PDEs）。

每种类型都有其特定的求解策略和理论支持，例如，在使用fsolve求解微分方程时，需要结合ODE求解器如`ode45`进行时间步进，以获得系统在特定时间点的数值解。

### 5.1.2 求解非线性方程的数学理论

求解非线性方程的数学理论通常涉及以下几个方面：

- **存在性和唯一性定理**：确定方程是否有解，以及在给定条件下的解是否唯一。
- **迭代方法**：如牛顿法（Newton's method）、割线法（Secant method）等，用于近似求解非线性方程。
- **连续性理论**：了解参数变化对方程解的影响，即所谓的连续性分析。

对于多元非线性方程系统，还需引入如雅可比矩阵（Jacobian matrix）、海森矩阵（Hessian matrix）等概念，帮助分析方程的局部性质，指导求解算法的选择和应用。这些理论构成了解决非线性方程的数学基础，它们为fsolve等数值求解器的设计和应用提供了理论支撑。

## 5.2 复杂案例的深度分析

### 5.2.1 高维非线性方程系统的处理

高维非线性方程系统通常包含多个未知数和多个方程，这使得问题的复杂性成倍增加。解决这类问题需要更强大的数值方法和计算机资源。fsolve在处理高维系统时有以下特点：

- **初始猜测的重要性**：高维系统对初始猜测更为敏感，适当的初始猜测值可以减少迭代次数和避免陷入局部最小值。
- **收敛速度**：高维系统可能需要更多的迭代次数来达到收敛。
- **内存和计算资源**：高维计算对内存和处理器速度要求较高，MATLAB在求解这类问题时会占用更多的系统资源。

在MATLAB中使用fsolve求解高维非线性方程系统时，需要合理设置选项参数，如`TolFun`（函数容差）、`TolX`（解的容差）、`MaxIter`（最大迭代次数）等，以保证求解器可以有效工作。

### 5.2.2 约束条件下非线性方程的求解

在实际应用中，非线性方程往往伴随着各种约束条件。这些约束可以是等式约束或不等式约束，也可以是边界条件。MATLAB提供了一套完整的约束求解工具，包括`fmincon`函数，但在某些情况下，我们也可以通过修改目标方程或引入松弛变量的方式，将约束条件纳入到非线性方程求解的过程中。

使用fsolve解决有约束的非线性方程时，主要步骤如下：

1. 将约束条件转换成无约束方程的形式，例如，不等式约束 `g(x) <= 0` 可以通过引入一个正的松弛变量 `s` 转换为 `g(x) + s^2 = 0`。
2. 将转换后的方程和原方程一起求解。
3. 在求解过程中，可能需要迭代地调整松弛变量，以满足原约束条件。

这一过程需要结合fsolve函数的高级选项和参数调整，以确保求解的准确性和效率。

## 5.3 研究级应用的探索

### 5.3.1 科研中非线性问题的求解

在科研领域，非线性问题的求解通常需要解决更加复杂的数学模型，这可能涉及物理现象的模拟、工程技术难题的求解等。在这些应用中，fsolve可以在以下方面发挥作用：

- **参数识别与模型校准**：通过实验数据来调整模型参数，使模型预测与实验结果相吻合。
- **控制理论**：在反馈控制系统设计中，fsolve有助于解决系统稳定性和性能优化问题。
- **优化问题**：如工程设计中的成本最小化、性能最大化等。

### 5.3.2 MATLAB在高等教育中的教学应用案例

在高等教育中，MATLAB是教学科研中不可或缺的工具，fsolve的引入，为教授非线性方程的求解提供了一个实用的平台。在教学中，可以通过以下案例来帮助学生深化理解：

- **案例1：工程设计** - 求解结构设计中的应力分布问题。
- **案例2：物理模拟** - 模拟粒子运动，求解受力平衡方程。
- **案例3：生物数学** - 研究种群动态变化的非线性微分方程组。

通过案例分析，学生可以了解到fsolve求解非线性方程的步骤，以及如何将其应用到不同学科领域的问题解决中。这不仅提高了学生的实操能力，也加深了对相关理论知识的理解。

在实际操作中，学生或科研工作者可以通过以下步骤进行教学或研究：

1. **问题定义**：明确需要求解的非线性方程或方程组。
2. **数学模型建立**：根据问题背景建立相应的数学模型。
3. **fsolve应用**：编写MATLAB脚本，使用fsolve求解方程。
4. **结果分析与验证**：通过图形化工具或实验数据对结果进行分析和验证。

整个过程不仅锻炼了使用MATLAB进行复杂问题分析和求解的技能，也提升了应用数学工具解决实际问题的能力。