机械臂非奇异终端滑模控制例子

机械臂非奇异终端滑模控制（Non-Singular Terminal Sliding Mode Control，NSTSMC）是一种常用的机械臂控制方法。下面以一个三自由度（3-DOF）的机械臂为例，介绍其非奇异终端滑模控制方法。

首先，我们需要定义机械臂的状态变量和控制器的目标变量。假设机械臂有三个关节，分别为 $\theta_1$、$\theta_2$ 和 $\theta_3$，则机械臂的状态变量为：

$$
x = [\theta_1,\theta_2,\theta_3,\dot{\theta_1},\dot{\theta_2},\dot{\theta_3}]^T
$$

控制器的目标变量为机械臂末端的位置和速度，分别为 $p = [p_x,p_y,p_z]^T$ 和 $\dot{p} = [\dot{p}_x,\dot{p}_y,\dot{p}_z]^T$。

接下来，我们需要设计非奇异终端滑模控制器。首先，我们定义滑模面为：

$$
S = \frac{1}{2}(\Delta p^T \Delta p + \Delta \dot{p}^T \Delta \dot{p})
$$

其中，$\Delta p = p_d - p$，$\Delta \dot{p} = \dot{p}_d - \dot{p}$，$p_d$ 和 $\dot{p}_d$ 分别为控制器的目标位置和速度。

然后，我们引入非线性函数：

$$
F = \begin{bmatrix} -k_p\Delta p - k_v\Delta \dot{p} + m \ddot{p}_d \\ \ddot{\theta_1} \\ \ddot{\theta_2} \\ \ddot{\theta_3} \end{bmatrix}
$$

其中，$k_p$ 和 $k_v$ 分别为位置和速度控制增益，$m$ 为机械臂的质量。注意到上式中，$\ddot{\theta_1}$、$\ddot{\theta_2}$ 和 $\ddot{\theta_3}$ 并没有出现在 $F$ 中，这是因为我们采用了非奇异终端滑模控制方法，这种方法可以避免奇异点问题。

最后，我们设计控制律为：

$$
u = J^T(\hat{F} + \Gamma S)
$$

其中，$J$ 为机械臂的雅可比矩阵，$\hat{F}$ 是 $F$ 的估计值，$\Gamma$ 是正定对称矩阵，用于调节滑模面的收敛速度。

综上所述，我们得到了非奇异终端滑模控制器的完整设计，其中包括状态变量的定义、滑模面的定义、非线性函数的引入以及控制律的设计。