用sfunction构建bppid控制器

以下是使用sfunction构建bppid控制器的示例代码：

function [sys,x0,str,ts] = bppid_controller(t,x,u,flag,Kp,Ki,Kd,Ts)

switch flag

  case 0 % Initialization
    sizes = simsizes;
    sizes.NumContStates = 0;
    sizes.NumDiscStates = 3;
    sizes.NumOutputs = 1;
    sizes.NumInputs = 2;
    sizes.DirFeedthrough = 0;
    sizes.NumSampleTimes = 1;
    sys = simsizes(sizes);
    x0 = [0; 0; 0];
    str = [];
    ts = [Ts 0];

  case 2 % Discrete states update
    e = u(1) - x(2);
    de = (e - x(3)) / Ts;
    x(1) = x(1) + e * Ts;
    x(2) = x(2) + x(3) * Ts;
    x(3) = Kp * e + Ki * x(1) + Kd * de;

  case 3 % Outputs
    sys = x(2);

  case {1,4,9} % Unused flags
    sys = [];

  otherwise
    error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);

end

在这个例子中，bppid控制器是一个离散状态系统，其状态向量为$x=[x_1,x_2,x_3]$，其中$x_1$是积分误差，$x_2$是上一次的误差，$x_3$是当前的控制输出。控制器的输入为$u=[r,y]$，其中$r$是参考信号，$y$是反馈信号。控制器的输出为控制信号$u_c$。

控制器的实现基于标准的PID控制器公式：

$$u_c(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}$$

其中$e(t) = r(t) - y(t)$是误差，$K_p$、$K_i$和$K_d$是控制器的参数。

为了实现离散控制器，我们使用欧拉积分法将积分项和微分项离散化。控制器的离散状态更新方程为：

$$\begin{aligned} x_1(k+1) &= x_1(k) + e(k) T_s \\ x_2(k+1) &= x_2(k) + x_3(k) T_s \\ x_3(k+1) &= K_p e(k) + K_i x_1(k+1) + K_d \frac{e(k) - x_2(k)}{T_s} \end{aligned}$$

其中$T_s$是采样时间。

最后，我们定义控制器的输出为$x_2$，即上一次的误差。这是因为在控制器中，我们只需要使用上一次的误差来计算微分项，而不是实时的误差。