具有n个结点的m次树的最小高度为多少

对于具有 n 个结点的 m 次树（每个非叶子节点最多有 m 个子节点），最小高度可以通过构造一棵完全 m 叉树得到，它的高度为 ⌈log_m⁡(n( m-1) +1)⌉，其中 ⌈ ⌉ 表示向上取整。因为对于一棵完全 m 叉树，所有非叶子节点都有 m 个子节点，叶子节点数为 m^(h-1)，因此满足叶子节点数大于等于 n 的最小高度为 h=⌈log_m⁡(n( m-1) +1)⌉。这个结论可以通过完全 m 叉树的构造和计算得到。

相关问题

在一个N×M的区域中存在有若干个景点（不超过10个），且每一小区域的海拔高度是高低不一的。假设相临两1×1区域的高度差为x，则从其中一个区域移到另一区域将耗费x^2+1分钟的时间。我们要求得到一条由区域（1，1）出发，经过所有景点的路线，并保证花费的时间最短。请用c++解出此题

这是一个典型的图论问题，可以用Dijkstra算法或者A*搜索算法来解决。由于题目描述的是网格状环境并且时间消耗是基于两点之间的高度差的平方加上1，我们可以将其转化为一个带权重的图，其中每个节点代表一个区域，边的权重是到达相邻区域的成本。

以下是使用Dijkstra算法的一个基本步骤：

1. **初始化**：
- 创建一个优先队列（可以使用STL的`std::priority_queue`，底层数据结构可以选择最小堆或最大堆，这里为了找到最短路径选择最小堆）。
- 将起始点（1,1）设置为源点，赋予它0的初始距离，然后入队。
- 创建一个二维数组或邻接矩阵表示图，存储每个区域到其邻居的权重。

2. **迭代过程**：
- 从队列中取出当前距离源点最近的节点。
- 更新该节点的所有未访问邻居的距离，如果通过它们到源点的距离比当前更短，更新距离并把邻居加入队列。
- 重复这个过程直到队列为空或者目标节点已加入队列。

3. **构建路径**：
- 当找到所有景点时，从目标节点开始回溯，记录下每个节点的前驱节点，因为这对应了最短路径上每个节点的来源。

4. **返回结果**：
- 输出从(1,1)到各个景点的最短路径，以及总时间成本（累计所有边的权重）。

下面是一个简单的伪代码示例，实际上你需要将它翻译成C++代码，并处理边界条件和特殊情况（例如图是否连通等）：

#include <queue>
#include <vector>

// 图节点类，包含坐标和距离信息
struct Node {
    int x, y;
    int distance; // 距离源点的距离
};

int getWeight(int x1, int y1, int x2, int y2); // 计算两个位置间的权重

void dijkstra(std::vector<std::vector<int>>& graph, int startX, int startY, std::vector<Node>& result) {
    std::priority_queue<Node, std::vector<Node>, std::greater<Node>> pq;
    pq.push({startX, startY, 0});
    
    while (!pq.empty()) {
        Node current = pq.top();
        pq.pop();

        if (current.x == targetX && current.y == targetY) {
            // 找到终点，回溯并填充结果
            Node temp = current;
            while (temp.distance > 0) {
                result[temp.x][temp.y].distance = temp.distance;
                temp = result[temp.x][temp.y].previous;
            }
            return;
        }

        for (const auto& neighbor : graph[current.x][current.y]) {
            int newDistance = current.distance + getWeight(current.x, current.y, neighbor.x, neighbor.y);
            if (newDistance < result[neighbor.x][neighbor.y].distance) {
                result[neighbor.x][neighbor.y].distance = newDistance;
                result[neighbor.x][neighbor.y].previous = current;
                pq.push(neighbor);
            }
        }
    }
}

int main() {
    int N, M;
    // ...获取输入...
    std::vector<std::vector<Node>> grid(N, std::vector<Node>(M, {0, 0, INT_MAX}));
    // 初始化网格和权重
    // ...

    std::vector<Node> shortestPaths(N, std::vector<Node>(M)); // 存储结果
    dijkstra(grid, 0, 0, shortestPaths);

    // 返回最短路径和总时间成本
    // ...
}

int minimumEffortPath(int* heights, int heightsSize, int* heightsColSize) { int m = heightsSize; int n = heightsColSize[0]; struct Tuple edges[n * m * 2]; int edgesSize = 0; for (int i = 0; i < m; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { int id = i * n + j; if (i > 0) { edges[edgesSize].x = id - n; edges[edgesSize].y = id; edges[edgesSize++].z = fabs(heights[i][j] - heights[i - 1][j]); } if (j > 0) { edges[edgesSize].x = id - 1; edges[edgesSize].y = id; edges[edgesSize++].z = fabs(heights[i][j] - heights[i][j - 1]); } } } qsort(edges, edgesSize, sizeof(struct Tuple), cmp); struct DisjointSetUnion* uf = malloc(sizeof(struct DisjointSetUnion)); initDSU(uf, m * n); int ans = 0; for (int i = 0; i < edgesSize; i++) { unionSet(uf, edges[i].x, edges[i].y); if (connected(uf, 0, m * n - 1)) { ans = edges[i].z; break; } } return ans; }为这段代码写注释

/**
 * @brief 利用并查集和最小生成树的思想，求解从左上角到右下角最小代价路径
 * 
 * @param heights 每个点的高度，heights[i][j]表示第i行第j列的高度
 * @param heightsSize heights数组的行数
 * @param heightsColSize heights数组的列数，即每行的元素个数
 * @return int 返回最小代价路径的代价
 */
int minimumEffortPath(int* heights, int heightsSize, int* heightsColSize) {
    int m = heightsSize; // 行数
    int n = heightsColSize[0]; // 列数
    struct Tuple edges[n * m * 2]; // 存储所有边的数组
    int edgesSize = 0; // 边的数量
    for (int i = 0; i < m; ++i) { // 枚举所有节点
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            int id = i * n + j; // 计算节点在一维数组中的下标
            if (i > 0) { // 如果当前节点不在第一行，则与上面的节点相连
                edges[edgesSize].x = id - n; // 边的起点
                edges[edgesSize].y = id; // 边的终点
                edges[edgesSize++].z = fabs(heights[i][j] - heights[i - 1][j]); // 边的权值，即两个节点高度差的绝对值
            }
            if (j > 0) { // 如果当前节点不在第一列，则与左边的节点相连
                edges[edgesSize].x = id - 1; // 边的起点
                edges[edgesSize].y = id; // 边的终点
                edges[edgesSize++].z = fabs(heights[i][j] - heights[i][j - 1]); // 边的权值，即两个节点高度差的绝对值
            }
        }
    }
    qsort(edges, edgesSize, sizeof(struct Tuple), cmp); // 将边按照权值从小到大排序
    struct DisjointSetUnion* uf = malloc(sizeof(struct DisjointSetUnion)); // 初始化并查集
    initDSU(uf, m * n);
    int ans = 0; // 最小代价路径的代价
    for (int i = 0; i < edgesSize; i++) { // 枚举所有边
        unionSet(uf, edges[i].x, edges[i].y); // 将两个节点所在的集合合并
        if (connected(uf, 0, m * n - 1)) { // 如果左上角和右下角在同一个集合中，则代表已经找到最小代价路径
            ans = edges[i].z; // 更新最小代价路径的代价
            break;
        }
    }
    return ans; // 返回最小代价路径的代价
}