AVL树：自平衡树的原理与实现

# 1. 引言

AVL树（Adelson-Velsky-Landis树）是一种自平衡二叉搜索树，它能够在插入或删除节点时通过旋转操作来保持树的平衡。AVL树是由前苏联的数学家G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis在1962年提出的，是最早被发明的自平衡二叉搜索树之一。

## 1.1 什么是AVL树？

AVL树是一种二叉搜索树，具有以下特点：
- 每个节点最多有两个子节点。
- 对于每个节点，其左子树中的所有节点值均小于该节点的值，而右子树中的所有节点值均大于该节点的值。
- 每个节点的左子树和右子树的高度差（平衡因子）不超过1。
## 1.2 AVL树的历史

AVL树是由G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis在1962年提出的，以他们的姓氏首字母命名。AVL树是首个被证明具有对数时间复杂度的平衡搜索树。

## 1.3 为什么需要自平衡树？

在普通的二叉搜索树中，如果插入或删除节点不进行额外的操作来保持平衡，有可能导致树变得极度不平衡，进而搜索效率下降至O(n)级别。自平衡树如AVL树能够通过旋转操作保持树的平衡，从而保证了插入、删除、搜索等操作的时间复杂度为O(logn)，是一种高效的数据结构。

# 2. AVL树的原理

AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，可以很好地保持其平衡性质，保证在进行插入和删除操作时，树的高度始终保持在一个较小的范围内，从而保持检索效率的稳定性。

### 2.1 AVL树的定义与性质

AVL树是由G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis在1962年所提出的，它是一种带有平衡条件的二叉搜索树。

在AVL树中，对于任意节点，它的左子树和右子树的高度最多相差1，即：|height(leftSubtree) - height(rightSubtree)| ≤ 1。

### 2.2 AVL树的平衡条件

AVL树的平衡条件正是基于节点的左子树和右子树的高度差不超过1。当插入或删除节点后，如果AVL树不满足平衡条件，就需要进行旋转操作来调整树的结构保持平衡。

### 2.3 AVL树的旋转操作

AVL树的平衡通过四种旋转操作来实现：左旋、右旋、先右后左旋（RL旋转）、先左后右旋（LR旋转）。

- 左旋（Left Rotation）：保持中序遍历的顺序，用于修复右子树过深的情况。

  def left_rotate(node):
      new_root = node.right
      node.right = new_root.left
      new_root.left = node
      return new_root

- 右旋（Right Rotation）：保持中序遍历的顺序，用于修复左子树过深的情况。

  def right_rotate(node):
      new_root = node.left
      node.left = new_root.right
      new_root.right = node
      return new_root

- 先右后左旋（RL Rotation）：先对当前节点的右子节点进行右旋，再对当前节点进行左旋。

  def rl_rotate(node):
      node.right = right_rotate(node.right)
      return left_rotate(node)

- 先左后右旋（LR Rotation）：先对当前节点的左子节点进行左旋，再对当前节点进行右旋。

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