红黑树：理论基础与C++实现

# 1. 红黑树概述

红黑树（Red-Black Tree）是一种自平衡的二叉查找树，它在每个节点上都增加了一个存储位来表示节点的颜色，可以是红色或黑色。红黑树是一种平衡二叉树，它在插入和删除节点时通过树的旋转和变色操作来保持树的平衡性，确保树的高度始终保持在对数范围内，从而保证了较高的查找、插入和删除效率。

## 1.1 红黑树简介

红黑树是由鲁道夫·贝尔（Rudolf Bayer）在1972年首次提出，并由莱昂纳德·亚伯斯坦（Leonidas J. Guibas）和罗伯特·塞德格威克（Robert Sedgewick）在1978年对其进行了完善。红黑树的设计主要是为了解决普通二叉查找树在频繁的插入、删除等动态操作下可能出现的非平衡情况，通过引入颜色和旋转等操作，使得红黑树能够在动态插入和删除节点时保持树的平衡性。

## 1.2 红黑树的特性

红黑树具有以下特性：
- 每个节点要么是红色，要么是黑色。
- 根节点是黑色。
- 每个叶子节点（NIL节点）是黑色。
- 如果一个节点是红色，则它的子节点必须是黑色。
- 从任意一个节点到其每个叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点，这一点确保了树的平衡性。
- 新插入的节点为红色，通过变色和旋转等操作来维持树的平衡。

## 1.3 红黑树与其他平衡树的比较

与AVL树相比，红黑树的旋转操作更少，插入删除节点的平均时间复杂度略低，但查找操作略高。在实际应用中，红黑树由于具备更好的平衡性，更适合用作动态插入删除较多的场景，如STL中的map和set。而AVL树则更适用于需要快速查找操作的场景。

# 2. 红黑树的基本原理

红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它在插入和删除节点时通过颜色标记和旋转操作来保持树的平衡。本章将深入探讨红黑树的基本原理，包括其定义、性质以及关键的旋转操作和插入算法。

### 2.1 红黑树的定义与性质

红黑树是一种二叉查找树，具有以下性质：
- 每个节点要么是红色，要么是黑色
- 根节点是黑色
- 每个叶节点（NIL节点，空节点）是黑色
- 如果一个节点是红色，则它的子节点必须是黑色
- 从任一节点到其每个叶节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点

这些性质保证了红黑树的平衡性，使得红黑树的最长路径不超过最短路径的两倍。

### 2.2 红黑树的旋转操作

红黑树通过旋转操作来维持平衡，包括左旋和右旋两种操作。左旋顾名思义就是以某个节点为支点，将其右子节点提升为父节点，同时将原父节点作为左子节点。右旋类似，只是方向相反。通过旋转操作，红黑树可以在插入或删除节点后保持平衡。

### 2.3 红黑树的插入算法分析

当向红黑树插入新节点时，首先按照二叉查找树的规则找到插入位置，并将新节点标记为红色。然后根据节点的父节点、叔父节点和祖父节点的颜色关系进行不同的情况处理，包括颜色翻转、旋转操作等，最终使得红黑树保持平衡。

红黑树的插入算法复杂度为O(log n)，其中n为树中节点的数量。通过合理的旋转操作和颜色调整，插入操作能够高效地维持红黑树的平衡性。

在下一章节中，我们将进一步探讨红黑树的高级应用，包括删除操作、时间复杂度分析以及红黑树在实际应用中的优势。

# 3. 红黑树的高级应用

红黑树作为一种自平衡的二叉查找树，在实际应用中扮演着重要的角色。本章将深入探讨红黑树的高级应用，包括删除操作的实现、时间复杂度分析以及红黑树在实际应用中的优势。

#### 3.1 红黑树的删除操作
红黑树的删除操作相对插入操作更为复杂，需要保证删除节点后依然满足红黑树的五条性质。具体删除算法如下：

class RedBlackTree:
    def delete(self, key):
        node = self.search(key)
        if not node:
            return
        self.__delete_node(node)

    def __delete_node(self, node):
        # 实现节点删除逻辑