线性最小二乘拟合qr分解

线性最小二乘拟合中的QR分解是一种数学方法，用于解决线性最小二乘问题，即找到一组系数，使得一组数据点与某个线性模型之间的差异（即残差）的平方和最小。QR分解涉及将一个矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。

具体来说，在线性最小二乘问题中，我们通常有如下形式的方程组：

Ax ≈ b

其中，A是一个m×n的矩阵（m≥n），x是我们要找的n维系数向量，b是一个m维数据向量。由于m通常大于n，这是一个超定系统，意味着没有精确解。我们使用最小二乘法来找到一个近似解，即找到一个x，使得||Ax-b||是最小的。

利用QR分解，可以将A分解为：

A = QR

这里，Q是一个m×n的矩阵，其列向量构成了一个标准正交基，R是一个n×n的上三角矩阵。QR分解可以通过多种算法实现，如Gram-Schmidt正交化过程、Householder变换或Givens旋转。

将A = QR代入Ax ≈ b中，得到：

QRx ≈ b

由于Q是正交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，即Q^(-1) = Q^T，因此可以左乘Q^T得到：

Rx ≈ Q^Tb

现在问题转化为求解上三角系统Rx ≈ Q^Tb，由于R是上三角矩阵，我们可以使用回代法（back substitution）来求解x。这个过程通常比直接求解原方程组Ax ≈ b要稳定且高效。

总结一下，QR分解在线性最小二乘拟合中的应用流程如下：

1. 对矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R。
2. 计算Q^Tb得到新的向量b'。
3. 解上三角方程组Rx ≈ b'得到x。
4. 找到了x之后，就可以用它来计算拟合模型。