5. 单源最短路径问题中，当路径中存在负权边时(不存在负权回路)不可以使用 Dijkstra 算法： (注：题中分析时间复杂度时，默认存储结构是邻接表，且 使用最小堆存储源点到各点的路径值) a) 一种想法是： 先在每条边上加上一个常数，从而消除负权边，然后再利 用 Dijkstra 算法。请问这种算法可行吗？若可行，请说明理由并分析时间复 杂度；若不可行，请举反例。 b) 另外一种想法是： 利用 Dijkstra 算法，在算法运行过程中， 若 w 已 经在 S 中，但是由于与 w 相邻的点加入 S 中而新计算得到的 dist[w]比 S 中存储的 dist[w]还要小，那么将 w 从 S 中剔除，重新加入未知集合 T 中。请问这种算法可行吗？若可行，请说明理由并分析时间复杂度；若不可 行，请举反例。

a) 这种算法不可行。因为将每条边加上一个常数并不会改变图中负权边的相对大小关系，也就是说，加上一个常数后仍然存在负权边，Dijkstra 算法仍然会选择负权边，导致结果错误。例如，对于下图中的情况，将每条边加上一个常数后，Dijkstra 算法会选择到达终点的路径为1-2-3-4，但实际上最短路径为1-3-4。因此，这种算法不可行。


b) 这种算法也不可行。因为在存在负权边的情况下，Dijkstra 算法的贪心策略不再成立，即使将 w 从 S 中剔除，重新加入未知集合 T 中，也不能保证得到最短路径。例如，对于下图中的情况，假设起点为1，若按照上述想法，第一步将2加入S中，此时dist[2]=1，第二步将3加入S中，此时dist[3]=0，因此将2从S中剔除，重新加入T中。第三步将4加入S中，此时dist[4]=-1，因此将3从S中剔除，重新加入T中。此时，算法结束，得到的最短路径为1-2-4，但实际上最短路径为1-3-4。因此，这种算法也不可行。


因此，当图中存在负权边时，应该使用 Bellman-Ford 算法或 Floyd-Warshall 算法求解最短路径。

相关问题

edu图的单源最短路径算法

单源最短路径算法是用来解决给定图中某个顶点到其他各顶点的最短路径问题的算法。在edu图中，常用的单源最短路径算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

Dijkstra算法通过维护一个集合S，来记录已经找到最短路径的顶点，然后通过不断地向集合S中加入顶点来逐步扩展最短路径集合，直到覆盖所有顶点为止。具体步骤包括初始化距离数组、将起点加入集合S、以起点为基础更新其他顶点的最短路径、选择未加入集合S中距离最短的顶点加入S等。Dijkstra算法适用于权值为非负的图，并且在稠密图上表现良好。

Bellman-Ford算法则是一种更为通用的单源最短路径算法，它能够处理权值为负的图。Bellman-Ford算法通过不断地对所有边进行松弛操作来逐步逼近最短路径。具体步骤包括初始化距离数组、进行|V|-1轮边的松弛操作、检查是否存在负权回路等。Bellman-Ford算法虽然可以处理权值为负的图，但是由于需要对所有边进行多次松弛操作，其时间复杂度较高。

综上所述，针对edu图的单源最短路径算法可以根据具体情况选择Dijkstra算法或Bellman-Ford算法。如果权值非负且图比较稠密，可以选择Dijkstra算法；如果需要处理权值为负的情况，或者图比较稀疏，可以选择Bellman-Ford算法。

数据结构单源最短路径

单源最短路径是指从图中的一个源点出发，到达图中其他所有顶点的最短路径。数据结构中常用的两种单源最短路径算法是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

1. Dijkstra算法：
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。该算法的基本思想是：将图中的所有顶点分成两个集合，一个集合为已求出最短路径的顶点集合S，另一个为未求出最短路径的顶点集合V-S。初始时，集合S中只有源点，即S={v}，V-S为除源点外的其他顶点。然后，从V-S中选择与源点距离最短的顶点u，将其加入到S中，并更新从源点v到集合V-S中所有顶点的距离。重复执行该过程，直到集合V-S为空。

2. Bellman-Ford算法：
Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。该算法的基本思想是：对于图中的任意一条边(u,v)，如果存在从源点s到u的最短路径，则从源点s到v的最短路径就是从源点s到u的最短路径加上边(u,v)的权值。因此，Bellman-Ford算法通过对所有边进行松弛操作，不断更新从源点s到各个顶点的最短路径估计值，直到所有边的松弛操作都无法使最短路径估计值发生变化为止。

下面是两种算法的Python实现：

1. Dijkstra算法：

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    # 初始化距离字典和堆
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    dist[start] = 0
    heap = [(0, start)]
    # 循环直到堆为空
    while heap:
        # 弹出堆中距离最小的顶点
        (d, node) = heapq.heappop(heap)
        # 如果该顶点已经处理过，则跳过
        if d > dist[node]:
            continue
        # 遍历该顶点的所有邻居
        for neighbor, weight in graph[node].items():
            # 计算从起点到该邻居的距离
            distance = dist[node] + weight
            # 如果该距离比已有的距离小，则更新距离字典和堆
            if distance < dist[neighbor]:
                dist[neighbor] = distance
                heapq.heappush(heap, (distance, neighbor))
    return dist

2. Bellman-Ford算法：

def bellman_ford(graph, start):
    # 初始化距离字典
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    dist[start] = 0
    # 循环V-1次，对所有边进行松弛操作
    for i in range(len(graph) - 1):
        for u in graph:
            for v, weight in graph[u].items():
                if dist[u] + weight < dist[v]:
                    dist[v] = dist[u] + weight
    # 检查是否存在负权回路
    for u in graph:
        for v, weight in graph[u].items():
            if dist[u] + weight < dist[v]:
                raise ValueError("Graph contains negative weight cycle")
    return dist