设计以下问题算法：3． Single-source shortest paths. The following is the adjacency matrix, vertex A is the source. A B C D E A -1 3 B 3 2 2 C D 1 5 E -3

这是一个经典的单源最短路径问题，可以使用 Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法进行求解。下面给出两种算法的伪代码：

Dijkstra 算法：

1. 初始化距离数组 dist，将源点 A 的距离设为 0，其他点的距离设为无穷大。
2. 创建一个空的集合 visited，用于存放已经确定最短路径的点。
3. while visited 集合不包含所有点：
4. 在未访问的点中找到距离源点最近的点 u，将 u 加入 visited 集合。
5. 对于 u 的每一个邻居 v，如果从源点 A 到 v 的距离比从源点 A 到 u 再到 v 的距离更短，则更新 dist[v] 的值为更小的距离。
6. 返回 dist 数组，其中 dist[i] 表示从源点 A 到点 i 的最短路径长度。

Bellman-Ford 算法：

1. 初始化距离数组 dist，将源点 A 的距离设为 0，其他点的距离设为无穷大。
2. 重复执行以下操作 V-1 次（V 是点的个数）：
3. 对于每一条边 (u,v)，如果从源点 A 到 u 的距离加上边权 w(u,v) 小于 dist[v]，则更新 dist[v] 的值为更小的距离。
4. 检查是否存在从源点 A 出发的负权回路。如果存在，则无法求出最短路径。
5. 返回 dist 数组，其中 dist[i] 表示从源点 A 到点 i 的最短路径长度。

相关问题

The function Dijkstra is to find the shortest path from Vertex S to every other vertices in a given Graph. The distances are stored in dist[], and path[] records the paths. The MGraph is defined as the following: typedef struct GNode *PtrToGNode; struct GNode{ int Nv; /* Number of vertices */ int Ne; /* Number of edges */ WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* adjacency matrix */ }; typedef PtrToGNode MGraph; void Dijkstra( MGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S ) { int collected[MaxVertexNum]; Vertex V, W; for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ ) { dist[V] = Graph->G[S][V]; path[V] = -1; collected[V] = false; } dist[S] = 0; collected[S] = true; while (1) { V = FindMinDist( Graph, dist, collected ); if ( V==ERROR ) break; collected[V] = true; for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]<INFINITY ) { if ( ) { dist[W] = ; path[W] = ; } } } /* end while */ }

在Dijkstra函数中，缺少一个条件判断语句，用来判断当前节点W是否可以通过V到达S的距离更短。应该在if语句中加上这个条件判断，如下所示：

if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {
if ( dist[V] + Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
dist[W] = dist[V] + Graph->G[V][W];
path[W] = V;
}
}

这样就可以在更新dist[W]和path[W]的时候，同时判断是否需要更新最短路径。

matlab代码利用Dijkstra算法求有向图最短路代码

下面是一个简单的 Matlab 程序，用 Dijkstra 算法求解有向图的最短路径问题：

function [dist, path] = Dijkstra(A, s)
% A      - adjacency matrix of the directed graph
% s      - the starting vertex
% dist   - distances from the starting vertex to all other vertices
% path   - shortest paths from the starting vertex to all other vertices

n = size(A, 1);
dist = inf(1, n);
dist(s) = 0;
path = cell(1, n);

for i = 1:n
    path{i} = [s];
end

for i = 1:n-1
    [~, u] = min(dist);
    dist(u) = inf;

    for v = 1:n
        if A(u, v) > 0
            alt = dist(u) + A(u, v);
            if alt < dist(v)
                dist(v) = alt;
                path{v} = [path{u}, v];
            end
        end
    end
end

其中，`A` 是一个邻接矩阵，表示有向图的连接情况，`s` 是起始节点的编号。程序返回两个变量：`dist` 表示起始节点到其他节点的最短距离，`path` 表示起始节点到其他节点的最短路径。