2yy'-(y^2)/x=-x解微分方程,使用伯努利公式法求解
时间: 2023-11-21 11:05:03 浏览: 37
给定微分方程为:
2yy' - (y^2)/x = -x
将该方程变形为伯努利方程的形式:
y' - (y/x) = -(x/2y)
令z=y^(-1),则z'=-y^(-2)y',将其代入上式中得到:
-z' - (1/x)z = (x/2)
这是一个一阶线性非齐次微分方程,使用常数变易法求解。首先求出其齐次方程的通解:
-z' - (1/x)z = 0
对上式进行分离变量,得到:
- dz/z = (dx/x)
两边同时积分,得到:
ln|z| = ln|x| + C
其中 C 为积分常数。因此,齐次方程的通解为:
z = Cx
接下来,求非齐次方程的特解。根据常数变易法的思路,我们假设特解为:
z = C(x)x
其中 C(x) 是待定的一个函数。将上式代入非齐次方程中,得到:
C'(x)x - C(x)/x = x/2
将上式整理,得到:
C'(x) - C(x)/x = 1/2
这是一个一阶线性齐次微分方程,使用常数变易法求解。首先求出其齐次方程的通解:
C'(x) - (1/x)C(x) = 0
对上式进行分离变量,得到:
dC/C = (dx/x)
两边同时积分,得到:
ln|C| = ln|x| + D
其中 D 为积分常数。因此,齐次方程的通解为:
C = Dx
接下来,求非齐次方程的特解。根据常数变易法的思路,我们假设特解为:
C(x) = Ax^2 + Bx
将上式代入 C'(x) - C(x)/x = 1/2 中,得到:
2Ax + B - (Ax^2 + Bx)/x = 1/2
将上式化简,得到:
(3/2)Ax - (1/2)B = 1/2
因此,A=1/2,B=0,特解为:
C(x) = (1/2)x^2
因此,原微分方程的通解为:
z = Cx + (1/2)x^2
将 z = y^(-1) 代入上式中,得到:
y(x) = [Cx + (1/2)x^2]^(-1)
因此,原微分方程的通解为:
y(x) = [Cx + (1/2)x^2]^(-1)
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