分数背包问题贪心算法正确性证明
时间: 2023-09-13 21:13:32 浏览: 114
分数背包问题是指可以将物品分成若干个部分装入背包中,与 0/1 背包问题不同,物品可以被切割成任意大小,取走一个物品的一部分。
贪心算法的基本思想是每次选择当前价值密度最大的物品进行放置。价值密度指的是单位重量的价值。例如,某个物品的重量为 $w_i$,价值为 $v_i$,那么它的价值密度为 $v_i / w_i$。
假设当前有 $n$ 个物品,背包的容量为 $W$,对于每个物品 $i$,我们定义 $x_i$ 表示选择多少个物品 $i$ 的一部分放入背包中。那么分数背包问题可以表示为以下的线性规划问题:
$$\begin{aligned} \max \sum_{i=1}^{n} v_i x_i \\ \text{s.t.} \sum_{i=1}^{n} w_i x_i \leq W \\ x_i \geq 0, i=1,2,\dots,n \end{aligned}$$
其中,$x_i$ 表示物品 $i$ 放入背包中的数量,$v_i$ 和 $w_i$ 分别表示物品 $i$ 的价值和重量。
我们可以对该问题进行一些变形,将其转化为一个与背包问题类似的形式:将每个物品按照单位重量的价值从大到小排序,然后依次将其放入背包中,直到背包没有容量为止。
现在我们来证明这个贪心算法的正确性:
假设当前背包中已经放置了一些物品,剩余容量为 $W'$,对于剩余的物品中,选择单位重量价值最大的一个物品 $i$。如果将整个物品 $i$ 放入背包中,那么可以得到的最大收益是 $v_i$,如果只放入一部分物品 $i$,那么可以得到的最大收益是 $v_i / w_i \times W'$。
因此,如果将物品 $i$ 的一部分放入背包中,可以得到的最大收益一定不小于将整个物品 $i$ 放入背包中。因此,选择单位重量价值最大的物品放入背包中是最优的选择。
由此可知,贪心算法的正确性得到了证明。