用matlab写一个时间复杂度很低的louvain算法

以下是一个用MATLAB实现的Louvain算法示例，其中尽可能考虑了时间复杂度的优化：

function [community] = louvain_algorithm(adjacency_matrix)
    % 获取节点个数
    n = size(adjacency_matrix, 1);
    
    % 初始化每个节点的社区标签
    community = (1:n)';
    
    % 初始化每个节点的度
    degree = sum(adjacency_matrix, 2);
    
    % 计算总边权重和
    total_weight = sum(sum(adjacency_matrix));
    
    % 迭代优化过程
    while true
        % 初始化标记变量，判断是否有节点移动到其他社区
        moved = false;
        
        % 遍历每个节点
        for i = 1:n
            % 获取节点 i 的邻居节点
            neighbors = find(adjacency_matrix(i, :));
            
            % 初始化模块度增益
            max_gain = 0;
            
            % 初始化最佳移动的目标社区
            best_community = community(i);
            
            % 遍历邻居节点
            for j = 1:length(neighbors)
                neighbor = neighbors(j);
                weight = adjacency_matrix(i, neighbor);
                
                % 计算将节点 i 移动到邻居节点的社区时的模块度增益
                gain = calculate_gain(adjacency_matrix, degree, total_weight, community, i, neighbor, weight);
                
                % 更新最大模块度增益和目标社区
                if gain > max_gain
                    max_gain = gain;
                    best_community = community(neighbor);
                end
            end
            
            % 若存在模块度增益，则将节点移动到目标社区
            if best_community ~= community(i)
                community(i) = best_community;
                moved = true;
            end
        end
        
        % 若没有节点移动，则结束迭代
        if ~moved
            break;
        end
        
        % 合并同一社区内的节点
        community = merge_communities(community);
        
        % 更新邻接矩阵和度信息
        [adjacency_matrix, degree] = update_adjacency_matrix(adjacency_matrix, degree, community);
    end
end

function [gain] = calculate_gain(adjacency_matrix, degree, total_weight, community, node, target_community, weight)
    % 获取节点 node 当前所在的社区
    current_community = community(node);
    
    % 计算当前社区的模块度增益
    Q_current = weight - (degree(node) * degree(target_community)) / (2 * total_weight);
    
    % 获取节点 node 移动到目标社区后的新模块度增益
    neighbors = find(community == current_community);
    Q_new = 0;
    for i = 1:length(neighbors)
        neighbor = neighbors(i);
        if neighbor ~= node
            if adjacency_matrix(node, neighbor) > 0
                Q_new = Q_new + adjacency_matrix(node, neighbor) - (degree(node) * degree(neighbor)) / (2 * total_weight);
            end
        end
    end
    
    % 计算模块度增益
    gain = Q_new - Q_current;
end

function [new_community] = merge_communities(community)
    % 获取所有社区的唯一标识
    unique_communities = unique(community);
    
    % 初始化新社区标签
    new_community = community;
    
    % 遍历每个社区
    for i = 1:length(unique_communities)
        nodes = find(community == unique_communities(i));
        
        % 将社区内的节点标签设置为最小的节点标签
        new_community(nodes) = min(nodes);
    end
end

function [new_adjacency_matrix, new_degree] = update_adjacency_matrix(adjacency_matrix, degree, community)
    % 获取所有社区的唯一标识
    unique_communities = unique(community);
    
    % 获取新的节点个数（社区数量）
    n = length(unique_communities);
    
    % 初始化新邻接矩阵和度信息
    new_adjacency_matrix = zeros(n);
    new_degree = zeros(n, 1);
    
    % 遍历每个社区
    for i = 1:n
        nodes = find(community == unique_communities(i));
        
        % 更新新邻接矩阵和度信息
        for j = 1:length(nodes)
            for k = j+1:length(nodes)
                node1 = nodes(j);
                node2 = nodes(k);
                weight = adjacency_matrix(node1, node2);
                new_adjacency_matrix(i, i) = new_adjacency_matrix(i, i) + weight;
                new_adjacency_matrix(i, j) = new_adjacency_matrix(i, j) + weight;
                new_adjacency_matrix(j, i) = new_adjacency_matrix(j, i) + weight;
                new_adjacency_matrix(k, i) = new_adjacency_matrix(k, i) + weight;
                new_degree(i) = new_degree(i) + weight;
                new_degree(j) = new_degree(j) + weight;
                new_degree(k) = new_degree(k) + weight;
            end
        end
    end
end

这个实现中，主要的优化策略包括：

1. 使用邻接矩阵表示图结构，以提高节点邻居查找的效率。
2. 在计算模块度增益时，仅考虑节点所在社区和邻居节点的连接情况，避免遍历整个图的邻接矩阵。
3. 在合并社区时，使用唯一社区标识进行快速查找和替换。
4. 在更新邻接矩阵和度信息时，仅遍历新社区内的节点，减少遍历的节点数量。

请注意，这只是一个简单的示例实现，实际应用中可能需要根据具体情况进行进一步优化。