python编程用步长自动减半的复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式、Romberg积分法计算积分。自己设置不同精度要求,对结果进行比较分析。

好的，让我来逐个解答你的问题。

首先，我们来看复化梯形公式。复化梯形公式的基本形式如下：

$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{h}{2}\left(f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)\right)
$$

其中，$h$ 表示每个小区间的长度，$x_i$ 表示小区间的中点，$n$ 表示小区间的个数。

步长自动减半的方法可以用以下代码实现：

def trapezoidal_rule(f, a, b, n, tol):
    h = (b-a)/n
    S = h*(f(a) + f(b))/2
    S_old = S + tol + 1
    while abs(S - S_old) > tol:
        S_old = S
        S = S/2
        for i in range(1, n):
            S += h*f(a + i*h)
            if i % 2 == 0:
                S += h*f(a + i*h)
        h /= 2
    return S

接下来，我们来看复化 Simpson 公式。复化 Simpson 公式的基本形式如下：

$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3}\left(f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{n/2-1} f(x_{2i}) + f(b)\right)
$$

其中，$h$ 表示每个小区间的长度，$x_i$ 表示小区间的中点，$n$ 表示小区间的个数，$n$ 必须是偶数。

步长自动减半的方法可以用以下代码实现：

def simpson_rule(f, a, b, n, tol):
    h = (b-a)/n
    S = h*(f(a) + f(b))/3
    S_old = S + tol + 1
    while abs(S - S_old) > tol:
        S_old = S
        S = S/2
        for i in range(1, n):
            if i % 2 == 0:
                S += 2*h*f(a + i*h)
            else:
                S += 4*h*f(a + i*h)
        h /= 2
        n *= 2
    return S

接下来，我们来看复化 Cotes 公式。复化 Cotes 公式是一种基于多项式插值的数值积分方法，其基本形式如下：

$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{2880}\left(19f(a) + 75f\left(a + \frac{b-a}{4}\right) + 50f\left(a + \frac{b-a}{2}\right) + 75f\left(a + \frac{3(b-a)}{4}\right) + 19f(b)\right)
$$

其中，$b-a$ 必须是 $4$ 的倍数。

步长自动减半的方法可以用以下代码实现：

def cotes_rule(f, a, b, tol):
    n = 4
    h = (b-a)/n
    x = [a + i*h for i in range(n+1)]
    y = [f(x[i]) for i in range(n+1)]
    p = np.polyfit(x, y, n)
    S = np.polyint(p)(b) - np.polyint(p)(a)
    S_old = S + tol + 1
    while abs(S - S_old) > tol:
        S_old = S
        n *= 2
        h /= 2
        x = [a + i*h for i in range(n+1)]
        y = [f(x[i]) for i in range(n+1)]
        p = np.polyfit(x, y, n)
        S = np.polyint(p)(b) - np.polyint(p)(a)
    return S

最后，我们来看 Romberg 积分法。Romberg 积分法是一种递归的数值积分方法，其基本思想是不断迭代计算更高精度的数值积分，直到满足精度要求为止。

步长自动减半的方法可以用以下代码实现：

def romberg_rule(f, a, b, tol):
    R = np.zeros((20,20))
    h = b - a
    R[0,0] = h*(f(a) + f(b))/2
    for k in range(1,20):
        h /= 2
        R[k,0] = R[k-1,0]/2 + h*sum([f(a + i*h) for i in range(1,2**(k-1)+1)])
        for j in range(1,k+1):
            R[k,j] = (4**j*R[k,j-1] - R[k-1,j-1])/(4**j - 1)
        if abs(R[k,k] - R[k-1,k-1]) < tol:
            return R[k,k]
    return R[19,19]

以上就是四种数值积分方法的 Python 实现，你可以根据自己的需求设置不同的精度要求，对结果进行比较分析。