01背包问题分支限界法c++

01背包问题是一种经典的动态规划优化问题，涉及物品分配给背包，每个物品有一个价值v[i]和重量w[i]，目标是在不超过背包容量W的情况下选择物品以最大化总价值。分支限界法（Branch and Bound）通常用于解决这类组合优化问题，尤其是当物品数量大、解空间复杂时。

在C++中，我们可以采用以下步骤来应用分支限界法求解01背包问题：

1. 定义状态：用二维数组dp[i][j]表示前i个物品中选择若干个放入容量为j的背包可以获得的最大价值。

2. 初始化：dp[0][j] = 0，表示空背包的价值。

3. 构建决策树：对于每个物品i，有两种决策：包含或不包含。如果包含，将dp[i-1][j-w[i]] + v[i]存入dp[i][j]；如果不包含，则取当前状态不变，即dp[i-1][j]。

4. 分支限界策略：设置一个上限bound，每次选择一个尚未达到bound的状态进行深度优先搜索。在搜索过程中，比较当前状态的值与bound，若小于等于，说明这个分支不会得到更好的结果，可以剪枝。

5. 更新最优解和边界：每次找到更优的结果时，更新全局最优解和上一次剪枝的上限bound。

6. 返回结果：遍历所有可能的情况后返回全局最优解dp[n][W]。

相关问题

01背包问题分支限界法c++优先队列代码

01背包问题是一个经典的动态规划问题，当我们需要在给定的一组物品中选择一些放入容量有限的背包，使得总价值最大时，可以使用分支限界法求解。其中，优先队列用于存储待探索的状态，通常我们会使用最小堆来实现。

以下是一个简单的C++代码示例，使用了`std::priority_queue`（默认最小堆）来处理优先级：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

// 定义物品结构
struct Item {
    int weight;
    int value;
};

bool compare(const pair<int, int>& a, const pair<int, int>& b) {
    return a.second / a.first > b.second / b.first; // 按价值密度排序
}

int knapsackBranchAndBound(vector<Item>& items, int capacity, vector<bool>& taken) {
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, decltype(compare)> pq(compare);
    pq.push({0, 0}); // 初始化队列，状态为0重量0，价值0

    while (!pq.empty()) {
        int currWeight = -pq.top().first;
        int currValue = pq.top().second;
        pq.pop();

        if (currWeight + items[taken.size()].weight <= capacity && 
            currValue + items[taken.size()].value > pq.top().second) {
            // 如果当前状态下背包未满，并且加入新物品的价值更大，更新背包状态
            taken.push_back(1);
            pq.push({-currWeight - items[taken.size()].weight, currValue + items[taken.size()].value});
        } else if (currWeight + items[taken.size()].weight <= capacity) {
            // 否则仅更新背包状态，不加入新物品
            taken.push_back(0);
            pq.push({-currWeight, currValue});
        } else {
            // 超出背包容量，无需再考虑该路径
        }
    }

    return currValue;
}

int main() {
    vector<Item> items = {{60, 100}, {100, 200}, {120, 300}};
    int capacity = 500;
    vector<bool> taken(items.size());
    cout << "Max value in the knapsack: " << knapsackBranchAndBound(items, capacity, taken) << endl;
    return 0;
}

在这个例子中，我们首先创建了一个优先队列`pq`，并初始化为空。然后，我们在循环中不断从队列中取出状态，判断是否符合条件（背包未满且加入新物品更有利），如果满足就更新背包状态并将其推入队列。当队列为空时，说明所有可能的情况都已检查过，返回当前的最大价值。

0/1背包回溯法+分支限界法 c++

以下是0/1背包问题的回溯法和分支限界法的C++代码：

回溯法：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int n, W;
vector<int> w, v;
int maxv = 0;

void dfs(int i, int cw, int cv) {
    if (i == n) {
        if (cv > maxv) maxv = cv;
        return;
    }
    dfs(i + 1, cw, cv);
    if (cw + w[i] <= W) {
        dfs(i + 1, cw + w[i], cv + v[i]);
    }
}

int main() {
    cin >> n >> W;
    w.resize(n);
    v.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    dfs(0, 0, 0);
    cout << maxv << endl;
    return 0;
}

分支限界法：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

int n, W;
vector<int> w, v;
int maxv = 0;

struct Node {
    int cw, cv, i;
    bool operator<(const Node& other) const {
        return cv < other.cv;
    }
};

void bfs() {
    priority_queue<Node> q;
    q.push({0, 0, 0});
    while (!q.empty()) {
        Node u = q.top(); q.pop();
        if (u.i == n) {
            if (u.cv > maxv) maxv = u.cv;
            continue;
        }
        if (u.cw + w[u.i] <= W) {
            q.push({u.cw + w[u.i], u.cv + v[u.i], u.i + 1});
        }
        q.push({u.cw, u.cv, u.i + 1});
    }
}

int main() {
    cin >> n >> W;
    w.resize(n);
    v.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    bfs();
    cout << maxv << endl;
    return 0;
}

这里的回溯法和分支限界法都是使用了搜索的思想，回溯法是通过递归的方式枚举所有可能的情况，而分支限界法则是通过优先队列的方式，每次取出当前最优的节点进行拓展。