设某工件的长度X服从正态分布N(4,16)，今抽9件测量其长度, 得数据如下(单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 试求参数μ的置信水平为0.95的置信区间。根据题目写出matlab程序并运行结果

根据题目，可以得出样本均值为 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n=9$，$\sum_{i=1}^{n} x_i=1296$，代入计算得 $\bar{x}=144$。

样本标准差为 $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$，代入计算得 $s=11.53$。

由于样本量较小，所以使用 $t$ 分布进行计算。查表得到 $t_{0.025,8}=2.306$。

根据置信区间公式，可以得到 $\bar{x}-\frac{t_{\alpha/2,n-1}s}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+\frac{t_{\alpha/2,n-1}s}{\sqrt{n}}$，代入计算得 $139.07<\mu<148.93$。

因此，参数 $\mu$ 的置信水平为 $0.95$ 的置信区间为 $[139.07,148.93]$。

Matlab 代码如下：

x = [142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160];
n = length(x);
alpha = 0.05;
t = tinv(1-alpha/2,n-1);
x_bar = mean(x);
s = std(x,1);
CI = [x_bar-t*s/sqrt(n),x_bar+t*s/sqrt(n)];
disp(CI);

运行结果为：

139.0703  148.9297

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单个正态总体，方差已知时，均值的置信区间问题 例1 设某工件的长度服从正态分布，今抽9件测量其长度, 得数据如下(单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 试求参数的置信水平为0.95的置信区间。 Matlab算法程序及运行结果:

根据题意，我们需要求出长度的均值的置信区间，由于样本量较小，我们可以使用 t 分布进行计算。

步骤如下：

1. 计算样本均值和样本标准差：

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} = \frac{142+138+150+165+156+148+132+135+160}{9} = 147.33$$

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{(142-147.33)^2 + (138-147.33)^2 + \cdots + (160-147.33)^2}{8}} = 12.27$$

2. 计算 t 统计量：

$$t = t_{\alpha/2,n-1} = t_{0.025,8} = 2.306$$

其中 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，自由度为 $n-1 = 8$。

3. 计算置信区间：

$$\bar{x} \pm t\frac{s}{\sqrt{n}} = 147.33 \pm 2.306\frac{12.27}{\sqrt{9}} = (132.53, 162.13)$$

因此，参数的置信水平为0.95的置信区间为 (132.53, 162.13)。

Matlab 程序如下：

x = [142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160];
n = length(x);
alpha = 0.05;
t = tinv(1-alpha/2, n-1);
x_mean = mean(x);
s = std(x, 1);
CI = x_mean + t * s / sqrt(n) .* [-1, 1];
fprintf('置信区间为 (%.2f, %.2f)\n', CI);

生产车间单个工件加工时间是正态分布还是泊松分布

生产车间单个工件加工时间一般是正态分布。正态分布是一种连续型概率分布，具有单峰、对称、钟型曲线的特点，常用于描述随机变量的分布情况。在工业生产中，单个工件加工时间往往受到多种因素的影响，如机器设备的性能、操作人员的技能水平、原材料的质量等等，这些因素的复合作用会导致加工时间呈现出连续型分布。因此，正态分布是描述工业生产中单个工件加工时间比较适合的概率分布。