假设用表示对序列的前向DFT,那么可以通过公式从中恢复序列,其中,。试证明上述结论。
时间: 2024-06-07 16:06:15 浏览: 3
根据DFT的定义,对于一个长度为N的序列,它的DFT可以表示为:
$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i2\pi\frac{nk}{N}}$$
其中,$x_n$为序列中第n个元素,$X_k$为DFT中第k个频率分量。反过来,我们可以通过逆DFT将DFT转换回原始序列,即:
$$x_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{i2\pi\frac{nk}{N}}$$
将DFT的表达式代入上式,可以得到:
$$x_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \left(\sum_{m=0}^{N-1} x_m e^{-i2\pi\frac{mk}{N}}\right) e^{i2\pi\frac{nk}{N}}$$
将式子中的两个指数相加,可以得到:
$$x_n = \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} x_m \sum_{k=0}^{N-1} e^{i2\pi\frac{(n-m)k}{N}}$$
当$n=m$时,指数为1,和为N;当$n\neq m$时,指数为一个单位复数的N次方根,和为0。因此,上式可以进一步简化为:
$$x_n = \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} x_m N\delta_{nm} = x_n$$
其中,$\delta_{nm}$为Kronecker delta符号。因此,我们成功地从DFT的表达式中恢复出了原始序列,证明了上述结论。
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信号序列带通滤波前后用公式怎么表达
假设原始信号序列为x[n],经过带通滤波后的信号序列为y[n],滤波器的频率响应为H(ω)。
带通滤波前的信号序列表示为:
x[n] = {x[0], x[1], ..., x[N-1]}
带通滤波后的信号序列表示为:
y[n] = {y[0], y[1], ..., y[N-1]}
滤波器的频率响应表示为:
H(ω) = |H(ω)|e^(jφ(ω))
其中,|H(ω)|表示滤波器在频率ω处的幅度响应,φ(ω)表示滤波器在频率ω处的相位响应。
则带通滤波可以表示为:
y[n] = IDFT{DFT{x[n]} * H(ω)}
其中,DFT表示离散傅里叶变换,IDFT表示离散傅里叶逆变换,*表示点乘运算。
对序列4 3 2 1做4点dft变换结果为
根据DFT公式,对于长度为N的序列x[n],其k点DFT变换为:
X[k] = Sum(x[n] * exp(-j*2*pi*k*n/N), n=0 to N-1)
对于长度为4的序列4 3 2 1,其4点DFT变换结果为:
X[0] = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
X[1] = 4 - 3j - 2 + 1j = (4-2) - (3+1)j = 2-4j
X[2] = 4 - 3 + 2 - 1 = 2
X[3] = 4 + 3j - 2 - 1j = (4-2) + (3-1)j = 2+2j
因此,4点DFT变换结果为:10, 2-4j, 2, 2+2j。