python用拉格朗日乘子法推导模糊C均值聚类

首先，我们先回顾一下模糊C均值聚类（FCM）的目标函数：

$$J(U,V)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^c u_{ij}^m||x_i-v_j||^2$$

其中，$U=[u_{ij}]_{n\times c}$ 是每个数据点 $x_i$ 对于每个聚类中心 $v_j$ 的隶属度矩阵，$V=[v_j]_{c\times d}$ 表示聚类中心矩阵，$m$ 是模糊度参数。

我们的目标是最小化目标函数 $J(U,V)$。

现在我们引入拉格朗日乘子法来解决这个问题。我们要最小化 $J(U,V)$，同时满足以下限制条件：

$$\sum_{j=1}^c u_{ij}=1 \quad \text{for } i=1,2,...,n$$

这意味着每个数据点 $x_i$ 的隶属度之和必须等于 $1$，即每个数据点必须属于某个聚类中心。

我们引入拉格朗日乘子 $\beta_i$ 并把限制条件加入目标函数中，得到：

$$J(U,V,\beta)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^c u_{ij}^m||x_i-v_j||^2-\sum_{i=1}^n\beta_i(\sum_{j=1}^c u_{ij}-1)$$

现在我们要最小化 $J(U,V,\beta)$，并且要满足 $\dfrac{\partial J}{\partial u_{ij}}=0$ 和 $\dfrac{\partial J}{\partial v_j}=0$ 两个条件。

求解 $\dfrac{\partial J}{\partial u_{ij}}=0$，可以得到：

$$u_{ij}=\frac{1}{\sum_{k=1}^c(\dfrac{||x_i-v_j||}{||x_i-v_k||})^{\frac{2}{m-1}}}$$

这个式子表示了数据点 $x_i$ 对聚类中心 $v_j$ 的隶属度。

求解 $\dfrac{\partial J}{\partial v_j}=0$，可以得到：

$$v_j=\frac{\sum_{i=1}^n u_{ij}^m x_i}{\sum_{i=1}^n u_{ij}^m}$$

这个式子表示了聚类中心 $v_j$ 的位置。

最后，我们要满足 $\dfrac{\partial J}{\partial \beta_i}=0$，即：

$$\sum_{j=1}^c u_{ij}-1=0$$

这个式子表示了每个数据点 $x_i$ 的隶属度之和必须等于 $1$。

综上所述，拉格朗日乘子法推导出的模糊C均值聚类算法如下：

1. 初始化聚类中心 $V=[v_j]_{c\times d}$；
2. 计算每个数据点 $x_i$ 对于每个聚类中心 $v_j$ 的隶属度 $u_{ij}$；
3. 计算每个聚类中心 $v_j$ 的位置 $v_j$；
4. 检查每个数据点 $x_i$ 的隶属度之和是否等于 $1$，如果不等于 $1$，则重新计算隶属度；
5. 重复步骤 2-4，直到聚类中心不再变化或达到最大迭代次数。