给出形式化证明图灵机停机问题不可判定
时间: 2023-09-29 21:05:15 浏览: 109
好的,针对您的问题,我可以提供以下证明:
首先,我们需要定义“可判定性问题”和“问题的语言”的概念。一个问题的语言是指一个由计算机可以接受的字符串集合,而可判定性问题则是指这样一种问题:可以构造一个计算机程序,对于任何输入字符串,这个程序都能在有限时间内确定该字符串是否属于该问题的语言。
接着,我们可以定义“图灵机停机问题”的语言为:所有能够在图灵机上停机的程序的字符串集合。
现在,我们来假设图灵机停机问题是可判定的。那么,我们可以构造一个新的图灵机程序H,其功能是检查任何给定图灵机程序是否会在自身上停机,如果停机则进入死循环,否则停机。这个程序的字符串表示可以通过对任何图灵机程序的字符串表示进行一些固定变换得到。
如果我们现在将H自身作为输入,那么它的行为应该是停机或进入死循环。如果H停机,则说明它在自身上停机,而根据我们的构造方法,H应该进入死循环;如果H不停机,则说明它没有在自身上停机,根据我们的构造方法,H应该停机。
因此,这个假设导致了矛盾。因此,我们可以得出结论: 图灵机停机问题不可判定。
相关问题
证明图灵机停机问题是不可判定的
证明图灵机停机问题是不可判定的,需要使用反证法。假设存在一个算法或者程序,能够解决所有图灵机是否会停机的问题。那么我们可以利用这个算法或程序来构造一个新的图灵机,这个图灵机的定义是如果输入的图灵机停机,则进入死循环;否则,停机。那么对于这个新图灵机,我们应用判定程序可以得出结果,如果新图灵机停机,则输入的图灵机不停机;否则,输入的图灵机停机。但是,我们发现这个程序会陷入自己的逻辑之中,无法解决这个问题。这也就说明了图灵机停机问题是不可判定的。
证明:接受所有是回文的输入的TM的图灵机编码的集合是不可判定的
要证明接受所有是回文的输入的TM的图灵机编码的集合是不可判定的,我们可以使用反证法。
假设我们有一个算法可以判定接受所有回文的TM的图灵机编码集合。我们可以使用这个算法来构造一个能够解决停机问题的算法。具体来说,我们可以构造一个TM M,它将一个输入x作为图灵机的编码,并模拟这个图灵机在输入x上的行为。如果图灵机在输入x上停机,则M接受,否则M不接受。
现在,我们可以使用这个算法判定接受所有回文的TM的图灵机编码集合。如果这个集合是可判定的,那么我们就可以使用这个算法来判断M是否接受了一个回文输入,从而解决了停机问题。但是,停机问题是不可判定的,因此这个假设是错误的。
因此,接受所有回文的TM的图灵机编码集合是不可判定的。
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