C++动态规划算法解决TSP问题

TSP (Traveling Salesman Problem) 是一个经典的组合优化问题，目标是在给定的 n 个城市之间找出一条经过每个城市一次且最小化总路程的路径。这个问题是 NP-hard 的，因此不可能在多项式时间内解决。但是，使用动态规划算法可以得到一个近似解。

下面是使用 C++ 实现动态规划算法解决 TSP 问题的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int INF = 1e9;

int tsp(int n, vector<vector<int>>& dist) {
    vector<vector<int>> dp(1 << n, vector<int>(n, INF));
    dp[1][0] = 0;

    for (int s = 1; s < (1 << n); ++s) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if ((s & (1 << i)) == 0) {
                continue;
            }

            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (i == j || (s & (1 << j)) == 0) {
                    continue;
                }

                dp[s][i] = min(dp[s][i], dp[s ^ (1 << i)][j] + dist[j][i]);
            }
        }
    }

    int ans = INF;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        ans = min(ans, dp[(1 << n) - 1][i] + dist[i][0]);
    }

    return ans;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    vector<vector<int>> dist(n, vector<int>(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            cin >> dist[i][j];
        }
    }

    int ans = tsp(n, dist);
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

代码中，`dp[s][i]` 表示当前已经访问过的城市集合为 `s`，最后一个访问的城市为 `i`，这种情况下的最小总路程。状态转移方程为 `dp[s][i] = min(dp[s][i], dp[s ^ (1 << i)][j] + dist[j][i])`，其中 `s ^ (1 << i)` 表示将 `s` 中第 `i` 位取反，即将 `i` 从 `s` 中删除。`j` 在这里表示上一个访问的城市。

最终的答案为 `ans = min(dp[(1 << n) - 1][i] + dist[i][0])`，其中 `i` 可以是任意一个城市，因为在动态规划的过程中，每一个城市都曾经作为最后一个访问的城市进行过计算。

这个算法的时间复杂度为 $O(2^n n^2)$，空间复杂度为 $O(2^n n)$。虽然这个算法是近似解，但是对于较小的数据集来说，它可以得到非常接近最优解的结果。