设f：X→Y，ASX 1 f(A)=(y|3x(xe AAy=f(x))，则称f(A)为A的像， 证明：f(AUB)=f(A)Uf(B)

首先，我们需要证明$f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B)$。

对于任意$y \in f(A \cup B)$，则存在$x \in A \cup B$，使得$f(x)=y$。

如果$x \in A$，则$f(x) \in f(A)$，因此$y \in f(A)$。

如果$x \in B$，则$f(x) \in f(B)$，因此$y \in f(B)$。

综上，$y \in f(A) \cup f(B)$，即$f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B)$。

接下来，我们需要证明$f(A) \cup f(B) \subseteq f(A \cup B)$。

对于任意$y \in f(A) \cup f(B)$，有两种情况：

1. $y \in f(A)$，则存在$x \in A$，使得$f(x)=y$。由于$x \in A \subseteq A \cup B$，因此$y \in f(A \cup B)$。

2. $y \in f(B)$，则存在$x \in B$，使得$f(x)=y$。由于$x \in B \subseteq A \cup B$，因此$y \in f(A \cup B)$。

综上，$f(A) \cup f(B) \subseteq f(A \cup B)$。

因此，我们证明了$f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B)$和$f(A) \cup f(B) \subseteq f(A \cup B)$，即$f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$。