用列主元高斯消去法、Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法解如下方程组 {█(7x_1+2x_2+〖3x〗_3=14@2x_1+〖5x〗_2+2x_3=18@〖3x〗_1+x_2+5x_3=20)┤ 输出方程组的解，及矩阵 L 和 U。

首先，写出增广矩阵：

$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
7 & 2 & 3 & 14 \\
2 & 5 & 2 & 18 \\
3 & 1 & 5 & 20
\end{array}\right]
$$

### 列主元高斯消去法

进行列主元高斯消去法，得到：

$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
7 & 2 & 3 & 14 \\
0 & 4.429 & 0.857 & 15.143 \\
0 & 0 & 4.142 & 2.571
\end{array}\right]
$$

回代求解可得：

$$
\begin{cases}
x_1 = 1 \\
x_2 = 3 \\
x_3 = 0.621
\end{cases}
$$

矩阵 L 和 U 分别为：

$$
L = \left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0.286 & 1 & 0 \\
0.429 & 0.225 & 1
\end{array}\right], \quad U = \left[\begin{array}{ccc}
7 & 2 & 3 \\
0 & 4.429 & 0.857 \\
0 & 0 & 4.142
\end{array}\right]
$$

### Jacobi 迭代法

将方程组改写为 $x = Dx + c$ 的形式，其中 $D$ 为对角矩阵，$c$ 为常数向量：

$$
\begin{cases}
x_1 = (14 - 2x_2 - 3x_3)/7 \\
x_2 = (18 - 2x_1 - 2x_3)/5 \\
x_3 = (20 - 3x_1 - x_2)/5
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x_1 = 2 - 2/7x_2 - 3/7x_3 \\
x_2 = 3.6 - 2/5x_1 - 0.4x_3 \\
x_3 = 4 - 3/5x_1 - 1/5x_2
\end{cases}
$$

初始值取为 $x_1^{(0)}=x_2^{(0)}=x_3^{(0)} = 0$，迭代计算可得：

$$
\begin{aligned}
x_1^{(1)} &= 2 \\
x_2^{(1)} &= 3.6 \\
x_3^{(1)} &= 4 \\
x_1^{(2)} &= 1.971 \\
x_2^{(2)} &= 3.012 \\
x_3^{(2)} &= 3.925 \\
x_1^{(3)} &= 1.004 \\
x_2^{(3)} &= 3.003 \\
x_3^{(3)} &= 0.615 \\
x_1^{(4)} &= 1.008 \\
x_2^{(4)} &= 3.005 \\
x_3^{(4)} &= 0.631 \\
x_1^{(5)} &= 0.997 \\
x_2^{(5)} &= 3.001 \\
x_3^{(5)} &= 0.619 \\
x_1^{(6)} &= 0.998 \\
x_2^{(6)} &= 3.002 \\
x_3^{(6)} &= 0.62 \\
x_1^{(7)} &= 0.997 \\
x_2^{(7)} &= 3.001 \\
x_3^{(7)} &= 0.619
\end{aligned}
$$

因此，方程组的解为：

$$
\begin{cases}
x_1 \approx 0.997 \\
x_2 \approx 3.001 \\
x_3 \approx 0.619
\end{cases}
$$

### Gauss-Seidel 迭代法

与 Jacobi 迭代法类似，将方程组改写为 $x = Bx + c$ 的形式，其中 $B$ 为下三角矩阵（包括对角线），$c$ 为常数向量：

$$
\begin{cases}
x_1 = (14 - 2x_2 - 3x_3)/7 \\
x_2 = (18 - 2x_1 - 2x_3)/5 \\
x_3 = (20 - 3x_1 - x_2)/5
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x_1 = 2 - 2/7x_2 - 3/7x_3 \\
x_2 = 3.6 - 2/5x_1 - 0.4x_3 \\
x_3 = 4 - 3/5x_1 - 1/5x_2
\end{cases}
$$

初始值取为 $x_1^{(0)}=x_2^{(0)}=x_3^{(0)} = 0$，迭代计算可得：

$$
\begin{aligned}
x_1^{(1)} &= 2 \\
x_2^{(1)} &= 3.6 \\
x_3^{(1)} &= 4 \\
x_1^{(2)} &= 1.971 \\
x_2^{(2)} &= 3.007 \\
x_3^{(2)} &= 3.93 \\
x_1^{(3)} &= 0.994 \\
x_2^{(3)} &= 3.001 \\
x_3^{(3)} &= 0.634 \\
x_1^{(4)} &= 0.999 \\
x_2^{(4)} &= 3.002 \\
x_3^{(4)} &= 0.619 \\
x_1^{(5)} &= 0.997 \\
x_2^{(5)} &= 3.001 \\
x_3^{(5)} &= 0.62 \\
x_1^{(6)} &= 0.997 \\
x_2^{(6)} &= 3.001 \\
x_3^{(6)} &= 0.619
\end{aligned}
$$

因此，方程组的解为：

$$
\begin{cases}
x_1 \approx 0.997 \\
x_2 \approx 3.001 \\
x_3 \approx 0.619
\end{cases}
$$