matlab编程 已知函数在四个点的值f(—2)=-10，f(-1)=-2，f(1 )=2，f( 2)=10.求三次拉格朗日插值多项式，并近似计算f (3 )的近似值。

### 回答1：
你可以使用 Matlab 中的函数 `interp1` 来求解三次拉格朗日插值多项式。

首先，你需要准备数据，包括你已知的四个点的横坐标和纵坐标。比如，可以这样准备数据：

x = [-2 -1 1 2]; % 横坐标
y = [-10 -2 2 10]; % 纵坐标

然后，你可以使用函数 `interp1` 来求解三次拉格朗日插值多项式：

pp = interp1(x, y, 'spline'); % pp 为三次拉格朗日插值多项式

最后，你可以使用函数 `ppval` 来计算在某个点的函数值：

f3 = ppval(pp, 3); % 计算 f(3) 的近似值

注意，这里计算出的 `f3` 只是函数在点 3 处的近似值，不一定等于函数在点 3 处的真实值。

### 回答2：
三次拉格朗日插值多项式可以表示为：

p(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) + L3(x)f(x3)

其中，L0(x)，L1(x)，L2(x)，L3(x)为拉格朗日插值基函数，分别计算如下：

L0(x) = ((x-x1)(x-x2)(x-x3))/((x0-x1)(x0-x2)(x0-x3))
L1(x) = ((x-x0)(x-x2)(x-x3))/((x1-x0)(x1-x2)(x1-x3))
L2(x) = ((x-x0)(x-x1)(x-x3))/((x2-x0)(x2-x1)(x2-x3))
L3(x) = ((x-x0)(x-x1)(x-x2))/((x3-x0)(x3-x1)(x3-x2))

将已知点代入计算得到：

L0(x) = ((x+1)(x-1)(x-2))/((0+2)(0-1)(0-2))
L1(x) = ((x+2)(x-1)(x-2))/((-1+2)(-1-1)(-1-2))
L2(x) = ((x+2)(x+1)(x-2))/((1+2)(1-1)(1-2))
L3(x) = ((x+2)(x+1)(x-1))/((2+2)(2-1)(2-2))

最后将上述结果代入插值多项式p(x)计算f(3)的近似值：

p(3) = L0(3)f(-2) + L1(3)f(-1) + L2(3)f(1) + L3(3)f(2)

将已知值代入计算得到：

p(3) = ((3+1)(3-1)(3-2))/((0+2)(0-1)(0-2)) * (-10) + ((3+2)(3-1)(3-2))/((-1+2)(-1-1)(-1-2)) * (-2) + ((3+2)(3+1)(3-2))/((1+2)(1-1)(1-2)) * 2 + ((3+2)(3+1)(3-1))/((2+2)(2-1)(2-2)) * 10

计算后可得到f(3)的近似值。

### 回答3：
三次拉格朗日插值多项式可以表示为：

L3(x) = [ (x - x1)(x - x2)(x - x3) ] / [ (x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) ] * f(x0) +
[ (x - x0)(x - x2)(x - x3) ] / [ (x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3) ] * f(x1) +
[ (x - x0)(x - x1)(x - x3) ] / [ (x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) ] * f(x2) +
[ (x - x0)(x - x1)(x - x2) ] / [ (x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) ] * f(x3)

根据题意，已知的四个点分别为：(-2, -10)，(-1, -2)，(1, 2)，(2, 10)。将这些点代入插值多项式中，可得：

L3(x) = [ (x - (-1))(x - 1)(x - 2) ] / [ (-2 - (-1))(-2 - 1)(-2 - 2) ] * (-10) +
[ (x - (-2))(x - 1)(x - 2) ] / [ (-1 - (-2))(-1 - 1)(-1 - 2) ] * (-2) +
[ (x - (-2))(x - (-1))(x - 2) ] / [ (1 - (-2))(1 - (-1))(1 - 2) ] * 2 +
[ (x - (-2))(x - (-1))(x - 1) ] / [ (2 - (-2))(2 - (-1))(2 - 1) ] * 10

化简后可得：

L3(x) = (-1/12) * x^3 + (17/24) * x^2 - (13/12) * x - 2

接下来，我们可以使用插值多项式L3(x)来近似计算f(3)的近似值。将x = 3代入L3(x)中：

L3(3) = (-1/12) * (3^3) + (17/24) * (3^2) - (13/12) * 3 - 2

计算得：

L3(3) ≈ 1

所以，f(3)的近似值为1。