python代码实现快速模幂算法中（指数小于0）

快速模幂算法可以用于求解大数的幂运算，以及离散对数问题，其基本思想是将指数进行二进制分解，然后通过连续平方法来快速计算幂。

当指数为负数时，我们可以使用以下公式：

$a^{-b} = \dfrac{1}{a^b}$

因此，我们先将指数取绝对值，然后计算其倒数的幂即可。

下面是Python代码实现：

def fast_power_mod(base, exponent, modulus):
    """
    快速模幂算法（指数小于0）
    :param base: 基数
    :param exponent: 指数（负数）
    :param modulus: 模数
    :return: 结果
    """
    # 将指数取绝对值，计算其倒数的幂
    exponent = abs(exponent)
    result = pow(base, exponent, modulus)
    result = pow(result, -1, modulus)
    return result

其中，`pow(a, b, c)`函数表示计算$a^b$模$c$的值。

相关问题

给出三个整数a,b,m,要求计算a的b次方对m取余的值。注意，a和b均小于10的9次方，c++代码求解，使用快速幂算法

快速幂算法是一种用于求解整数幂的算法，其核心思想是将指数b表示为二进制形式，然后利用幂的乘法法则将幂的计算转化为若干个底数a的幂的乘积。具体步骤如下：

1. 将指数b转化为二进制形式。
2. 初始化结果为1，底数为a。
3. 从低位到高位依次处理二进制数中的每一位，如果当前位为1，则将结果乘以底数，否则不变。
4. 将底数平方，即底数变为底数的平方。
5. 重复步骤3和步骤4，直到处理完所有位。
6. 将结果对m取余。

下面是使用快速幂算法求解a的b次方对m取余的代码实现：

def fast_power(a, b, m):
    res = 1
    while b:
        if b & 1:
            res = res * a % m
        a = a * a % m
        b >>= 1
    return res

其中，a表示底数，b表示指数，m表示模数。代码中使用了位运算来判断二进制数中的每一位是否为1，从而实现了快速幂算法。

RSAPython算法

### 实现RSA算法

在Python中实现RSA算法涉及密钥生成、加密以及解密过程。以下是具体方法：

#### 密钥生成
为了创建公私钥对，需要选择两个大素数p和q，并计算n=p*q作为模数。欧拉函数φ(n)=(p−1)(q−1)，再选取一个小于φ(n)且与其互质的整数e作为公钥指数；最后通过扩展欧几里得算法求出d使得de≡1(mod φ(n))，即得到私钥指数。

from sympy import mod_inverse, randprime


def generate_keypair(keysize=1024):
    p = randprime(2 ** (keysize // 2 - 1), 2 ** (keysize // 2))
    q = randprime(2 ** (keysize // 2 - 1), 2 ** (keysize // 2))

    n = p * q
    phi_n = (p - 1) * (q - 1)

    e = 65537  # Common choice for public exponent
    d = mod_inverse(e, phi_n)

    return ((e, n), (d, n))

此部分代码展示了如何利用`sympy`库来简化操作并提高效率[^1]。

#### 加密消息
给定明文m（通常先将其转换成整数形式），使用接收方提供的公钥(e,n)对其进行加密运算c=m^e%n获得密文c。

def encrypt(public_key, plaintext):
    e, n = public_key
    cipher_text = pow(plaintext, e, n)
    return cipher_text

这段程序实现了基于幂取模运算的消息加密功能。

#### 解密消息
接收到密文后，发送者可以运用自己的私钥(d,n)执行相应逆向变换m=c^d%n恢复原始信息m。

def decrypt(private_key, ciphertext):
    d, n = private_key
    plain_text = pow(ciphertext, d, n)
    return plain_text

上述片段说明了解码流程及其背后的数学原理。