Java最小公倍数算法的进阶优化：快速幂与二分法，效率飙升

# 1. Java最小公倍数算法基础

**1.1 最小公倍数概念**

最小公倍数（Least Common Multiple，简称 LCM）是指两个或多个整数的最小公倍数，即这些整数的倍数中最小的那一个。例如，6 和 8 的最小公倍数是 24，因为 24 是 6 和 8 的最小公倍数。

**1.2 Java最小公倍数算法**

在 Java 中，计算最小公倍数的算法如下：

public static int lcm(int a, int b) {
    if (a == 0 || b == 0) {
        return 0;
    }
    int gcd = gcd(a, b);
    return Math.abs(a * b) / gcd;
}

private static int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    return gcd(b, a % b);
}

该算法首先计算两个整数的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称 GCD），然后用两个整数的乘积除以 GCD 得到最小公倍数。

# 2. 快速幂算法优化

### 2.1 快速幂算法原理

快速幂算法是一种用于计算大整数幂运算的优化算法。其基本原理是利用二进制分解和递归，将幂运算分解为一系列较小的幂运算，从而降低计算复杂度。

具体来说，快速幂算法的计算步骤如下：

1. 将指数 `n` 转换为二进制表示：`n = b_k * 2^k + b_{k-1} * 2^{k-1} + ... + b_1 * 2^1 + b_0 * 2^0`
2. 从右向左扫描二进制表示，对于每一位 `b_i`，如果 `b_i = 1`，则将当前结果乘以 `base` 的 `2^i` 次方。
3. 重复步骤 2，直到扫描完所有位。

### 2.2 快速幂算法在最小公倍数计算中的应用

在最小公倍数计算中，快速幂算法可以用于快速计算两个整数的最小公倍数。其基本思路是：

1. 将两个整数 `a` 和 `b` 分解质因数：`a = p_1^{e_1} * p_2^{e_2} * ... * p_k^{e_k}`，`b = q_1^{f_1} * q_2^{f_2} * ... * q_l^{f_l}`
2. 计算最小公倍数的质因数分解：`LCM(a, b) = p_1^{max(e_1, f_1)} * p_2^{max(e_2, f_2)} * ... * p_k^{max(e_k, f_k)}`
3. 使用快速幂算法计算每个质因数的幂次方。

**代码块：**

def fast_pow(base, exponent, mod):
    """
    快速幂算法，计算 base^exponent % mod 的值。

    参数：
        base: 底数
        exponent: 指数
        mod: 模数

    返回：
        base^exponent % mod 的值
    """
    result = 1
    while exponent > 0:
        if exponent % 2 == 1:
            result = (result * base) % mod
        base = (base * base) % mod
        exponent //= 2
    return result

**代码逻辑分析：**

该代码实现了快速幂算法。它使用了一个循环，在循环中，如果指数 `exponent` 是奇数，则将结果 `result` 乘以 `base`。然后，将 `base` 平方并除以 `mod`，并对 `exponent` 进行右移操作（相当于除以 2）。该循环一直持续到 `exponent` 为 0。最后，返回 `result`。

**参数说明：**

* `base`：底数
* `exponent`：指数
* `mod`：模数

# 3. 二分法优化

### 3.1 二分法算法原理

二分法算法是一种基于分治思想的搜索算法，其基本原理如下：

- **前提条件：**待搜索的序列必须是有序的。
- **算法步骤：**
1. 初始化左右边界 `left` 和 `right`，分别为序列的第一个元素和最后一个元素。
2. 计算序列的中间位