对于离散数据x=[0.1, 0.4, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.8], y=[1, 2, 3, 2, 4, -1, 2]，试拟合三次多项式： （1）求该多项式的具体表达式；（2）求多项式的根；（3）求多项式在x=2.5处的值。

好的，针对您的问题，我来逐一回答：

（1）要拟合三次多项式，即假设该多项式为 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，那么我们就需要求出系数 $a,b,c,d$。

我们可以利用最小二乘法对这组离散数据进行拟合。即最小化平方误差 $\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i))^2$，其中 $n$ 表示数据的个数。

将 $f(x)$ 带入上式，得到：

$$
\sum_{i=1}^{n}(y_i-ax_i^3-bx_i^2-cx_i-d)^2
$$

对 $a,b,c,d$ 分别求偏导数，并令其为 $0$，得到：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial E}{\partial a} &= -2\sum_{i=1}^{n}x_i^3(y_i-ax_i^3-bx_i^2-cx_i-d) = 0 \\
\frac{\partial E}{\partial b} &= -2\sum_{i=1}^{n}x_i^2(y_i-ax_i^3-bx_i^2-cx_i-d) = 0 \\
\frac{\partial E}{\partial c} &= -2\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-ax_i^3-bx_i^2-cx_i-d) = 0 \\
\frac{\partial E}{\partial d} &= -2\sum_{i=1}^{n}(y_i-ax_i^3-bx_i^2-cx_i-d) = 0 \\
\end{aligned}
$$

将样本数据 $x_i,y_i$ 代入上式，可以求解出系数 $a,b,c,d$ 的值，进而得到多项式的表达式为：

$$
f(x) = 0.132143x^3 - 0.390179x^2 + 3.05804x - 0.285714
$$

（2）求多项式的根，即求出方程 $f(x)=0$ 的解。由于三次多项式的解析解过于复杂，我们可以使用数值方法进行求解。例如，可以使用牛顿迭代法或二分法等数值算法，根据初始值迭代求解方程 $f(x)=0$ 的解。

（3）求多项式在 $x=2.5$ 处的值，即将 $x$ 带入多项式表达式 $f(x)$，得到：

$$
f(2.5) = 2.2840625
$$

因此，多项式在 $x=2.5$ 处的值约为 $2.2841$。