最小二乘法拟合sigmoid曲线

sigmoid函数通常用于模拟某些生物或物理过程中的曲线变化，最小二乘法可以用来拟合sigmoid曲线。

sigmoid函数的一般形式为：$f(x)=\frac{L}{1+e^{-k(x-x_0)}}+b$，其中 $L$ 是曲线的最大值，$k$ 是曲线的斜率，$x_0$ 是曲线的中心位置，$b$ 是曲线的偏移量。

最小二乘法的目标是找到最优的参数 $L, k, x_0, b$，使得拟合的曲线与实际数据的误差最小。可以通过以下步骤实现：

1.定义sigmoid函数：

def sigmoid(x, L, k, x0, b):
    y = L / (1 + np.exp(-k*(x-x0))) + b
    return y

2.定义误差函数：

def cost_func(params, x, y):
    L, k, x0, b = params
    y_pred = sigmoid(x, L, k, x0, b)
    error = y - y_pred
    return np.sum(error**2)

3.使用scipy库中的optimize函数来找到最小化误差函数的参数：

from scipy.optimize import minimize

params0 = [max(y), 1, np.median(x), min(y)] # 初始化参数
res = minimize(cost_func, params0, args=(x, y)) # 最小化误差函数
L, k, x0, b = res.x # 获取最优参数

4.绘制拟合的sigmoid曲线：

import matplotlib.pyplot as plt

x_new = np.linspace(min(x), max(x), 1000)
y_new = sigmoid(x_new, L, k, x0, b)

plt.plot(x, y, 'o', label='data')
plt.plot(x_new, y_new, label='fit')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

这样就可以使用最小二乘法拟合sigmoid曲线了。