齐次线性方程组只有非零解的推导

一个齐次线性方程组可以表示为 $Ax=0$，其中 $A$ 是一个 $m$ 行 $n$ 列的系数矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维列向量，$0$ 是一个 $m$ 维列向量，所有元素都为 $0$。

如果方程组有非零解，那么必然存在一个非零向量 $x$ 使得 $Ax=0$。因为 $x$ 是非零向量，所以至少存在一个分量 $x_i \neq 0$。

假设 $A$ 的第 $i$ 列为 $a_{1i},a_{2i},...,a_{mi}$，那么我们可以将 $x_i$ 作为系数，从方程组中选取 $a_{1i},a_{2i},...,a_{mi}$ 对应的 $m$ 个方程，并将它们相加。这样得到的方程形如 $kx_i = 0$，其中 $k$ 是一个非零数，因为至少有一个分量 $x_i \neq 0$。因此，我们得到 $x_i=0$，与假设矛盾。

因此，如果齐次线性方程组有非零解，那么必然存在一个非零向量 $x$ 使得 $Ax=0$。这表明 $A$ 的列向量线性相关，因此 $A$ 的秩小于 $n$。

另一方面，如果 $A$ 的秩小于 $n$，那么 $A$ 的列向量线性相关，存在一个非零向量 $x$ 使得 $Ax=0$，因此齐次线性方程组有非零解。

综上所述，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 $A$ 的秩小于 $n$。