加权求和法、矢量评价法、约束法的数学公式以及案例

1. 加权求和法（Weighted Sum Method，WSM）

加权求和法是一种常见的多属性决策方法，其核心思想是将各属性的权重乘以其对应的评价值，然后将结果相加得到综合评价值，最终选取综合评价值最高的方案。

数学公式：

设有n个方案，每个方案有m个属性，则第i个方案的综合评价值为：

$$E_i = \sum_{j=1}^{m} w_j x_{ij}$$

其中，$w_j$为第j个属性的权重，$x_{ij}$为第i个方案在第j个属性上的评价值。

案例：假设有三个城市A、B、C，需要选择一个适合建立工厂的城市，评价指标包括人口规模、经济发展水平和交通便利程度，其权重分别为0.4、0.3和0.3。三个城市在各项指标上的得分如下表所示：

| | 人口规模 | 经济发展水平 | 交通便利程度 |
|---|---|---|---|
| A | 8 | 7 | 9 |
| B | 7 | 8 | 7 |
| C | 9 | 9 | 8 |

则三个城市的综合评价值分别为：

$$E_A = 0.4 \times 8 + 0.3 \times 7 + 0.3 \times 9 = 7.7$$

$$E_B = 0.4 \times 7 + 0.3 \times 8 + 0.3 \times 7 = 7.1$$

$$E_C = 0.4 \times 9 + 0.3 \times 9 + 0.3 \times 8 = 8.3$$

因此，选择城市C建立工厂是最佳决策。

2. 矢量评价法（Vector Evaluated Method，VEM）

矢量评价法是一种多目标决策方法，其核心思想是将各个指标看作一个向量，然后通过向量之间的比较来进行决策。

数学公式：

设有n个方案，每个方案有m个属性，则第i个方案的评价向量为：

$$\vec{E_i} = (E_{i1}, E_{i2}, ..., E_{im})$$

其中，$E_{ij}$为第i个方案在第j个属性上的评价值。

在此基础上，可以使用一些常见的向量比较方法，如欧几里得距离、切比雪夫距离、曼哈顿距离等来进行决策。

案例：假设需要选择一款游戏引擎，评价指标包括图形渲染效果、物理模拟效果和网络性能，其评价向量如下表所示：

| | 图形渲染效果 | 物理模拟效果 | 网络性能 |
|---|---|---|---|
| 引擎A | 8 | 7 | 9 |
| 引擎B | 7 | 8 | 7 |
| 引擎C | 9 | 9 | 8 |

此时可以使用欧几里得距离进行比较。即对于每个引擎，计算其评价向量与目标向量（即最优方案的评价向量）的欧几里得距离，然后选取距离最小的引擎作为最佳决策。

3. 约束法（Constrained Optimization Method，COM）

约束法是一种多目标决策方法，其核心思想是将决策问题转化为一个约束最优化问题，然后通过求解该问题来得到最佳决策。

数学公式：

设有n个方案，每个方案有m个属性，则约束最优化问题可表示为：

$$\begin{cases} f_1(\vec{x}) \to \max \\ f_2(\vec{x}) \to \max \\ ... \\ f_k(\vec{x}) \to \max \\ g_1(\vec{x}) \leq b_1 \\ g_2(\vec{x}) \leq b_2 \\ ... \\ g_l(\vec{x}) \leq b_l \end{cases}$$

其中，$f_i(\vec{x})$表示第i个目标函数，$\vec{x}$表示决策变量的向量，$g_j(\vec{x})$表示第j个约束条件，$b_j$表示约束条件的右侧常数。

在此基础上，可以使用一些常见的最优化算法，如线性规划、非线性规划、整数规划等来进行决策。

案例：假设需要选择一款手机，评价指标包括价格、屏幕大小、运行速度和电池续航时间，其目标是同时最小化价格和最大化屏幕大小、运行速度和电池续航时间，且需要满足价格不超过5000元的约束条件。则可以将该问题表示为一个线性规划问题：

$$\begin{cases} \text{minimize} & -P + S + V + T \\ \text{subject to} & P \leq 5000 \\ & S \geq 5 \\ & V \geq 1000 \\ & T \geq 8 \end{cases}$$

其中，P、S、V、T分别表示价格、屏幕大小、运行速度和电池续航时间。通过求解该问题，可以得到满足约束条件的最佳决策。