设计最长公共子序列问题的动态规划算法

最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题。其基本思路是：对于两个序列进行逐一比较，如果相等，则最长公共子序列的长度加 1；否则，最长公共子序列的长度为两个序列删去各自末尾元素后的最大值。

具体的动态规划算法如下：

1. 定义状态：dp[i][j] 表示序列 A 中前 i 个元素和序列 B 中前 j 个元素的最长公共子序列长度。

2. 确定状态转移方程：

当 A[i] == B[j] 时，即两个序列当前元素相等时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

当 A[i] != B[j] 时，即两个序列当前元素不相等时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

3. 确定初始状态：dp[0][j] = 0 和 dp[i][0] = 0。

4. 确定计算顺序：按从左到右、从上到下的顺序计算 dp[i][j]。

最终，dp[m][n] 即为序列 A 和序列 B 的最长公共子序列长度。

注意：此处的序列下标从 1 开始，即 A 的第一个元素为 A[1]，B 的第一个元素为 B[1]。

相关问题

最长公共子序列问题动态规划算法c++代码

好的，以下是最长公共子序列问题的动态规划算法的C++代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 1005;

int dp[MAXN][MAXN];

int main() {
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;

    int n = s1.length(), m = s2.length();

    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s1[i-1] == s2[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }

    cout << dp[n][m] << endl;

    return 0;
}

这段代码使用了二维数组`dp[i][j]`来记录字符串`s1`和`s2`的前`i`个字符和前`j`个字符的最长公共子序列的长度。其中，如果`s1[i-1]`和`s2[j-1]`相等，则`dp[i][j]`可以由`dp[i-1][j-1]`转移而来；否则，`dp[i][j]`取`dp[i-1][j]`和`dp[i][j-1]`的最大值。

最后输出`dp[n][m]`即为`s1`和`s2`的最长公共子序列的长度。

描述最长公共子序列的动态规划算法

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题。它用于找到两个序列中最长的公共子序列的长度。

动态规划算法解决LCS问题的思路如下：
1. 定义状态：设两个序列分别为s1和s2，长度分别为m和n。定义dp[i][j]表示s1的前i个字符和s2的前j个字符的LCS长度。
2. 初始化：将dp数组的第一行和第一列初始化为0，即dp[i] = dp[j] = 0。
3. 状态转移方程：当s1[i-1]等于s2[j-1]时，说明当前字符可以作为LCS的一部分，所以dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；当s1[i-1]不等于s2[j-1]时，说明当前字符不能作为LCS的一部分，所以dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
4. 最终结果：dp[m][n]即为最长公共子序列的长度。

下面是描述最长公共子序列的动态规划算法的相关问题：