一维热传导偏微分方程的求解

一维热传导偏微分方程可以表示为：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x, t)$ 表示温度分布，在 $x$ 方向上的位置为 $x$，时间为 $t$，$\alpha$ 为热扩散系数。

我们可以使用分离变量法求解此方程。假设 $u(x, t)$ 可以表示为两个函数的乘积形式：

$$u(x, t) = X(x)T(t)$$

将上式代入原方程，得到

$$\frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda^2$$

其中，$\lambda$ 为常数。将两边分别整理，得到两个常微分方程：

$$T'(t) + \alpha \lambda^2 T(t) = 0$$

$$X''(x) + \lambda^2 X(x) = 0$$

对于时间方程，其通解为

$$T(t) = c_1 e^{-\alpha \lambda^2 t}$$

对于空间方程，其通解为

$$X(x) = c_2 \sin(\lambda x) + c_3 \cos(\lambda x)$$

将两个方程的通解乘起来，得到原方程的通解：

$$u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( c_n \sin(\lambda_n x) + d_n \cos(\lambda_n x) \right) e^{-\alpha \lambda_n^2 t}$$

其中，$\lambda_n$ 是 $X(x)$ 的特征值，满足 $X(0)=X(L)=0$，$L$ 为空间区间的长度。$c_n$ 和 $d_n$ 是待定系数，需要根据初始条件和边界条件来确定。