1947年匈牙利奥林匹克数学竞赛有这样一道题:“证明:在任意六个人的聚会上,或者有三个人互相认识,或者有三个人互不认识。”请同学们思考这是为什么?可以将问题转化成图的模型进行思考哦!
时间: 2024-03-21 15:44:41 浏览: 23
这个问题可以转化为图论中的六人完全图的问题。在完全图中,每对不同的顶点之间都有一条边连接。对于六人完全图,共有15条边。我们用1表示认识,0表示不认识,可以将完全图表示为一个邻接矩阵:
```
0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0
```
我们可以选择其中一个人作为起点,然后遍历图。如果遍历到了三个相邻的点,那么这三个人互相认识;如果没有遍历到三个连续的点,那么这六个人中必然存在三个互不认识的人。
这个问题的证明可以通过猜想法。首先假设在某个六人聚会上不存在三个相互认识的人,那么对于任意一个人,他最多认识另外两个人,否则这三个人就构成了一个互相认识的三元组。因此,如果不存在三个相互认识的人,那么每个人最多认识两个人,也就是说,整个图中最多有12条边。但是实际上,六人完全图中有15条边,因此必定存在三个互相认识的人或三个互不认识的人。这样就证明了原命题。
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关于学习匈牙利算法的个人感言
学习匈牙利算法是算法学习中的一项重要内容。匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法之一。个人感言如下:
学习匈牙利算法需要掌握以下几个关键点:
1. 理解二分图:二分图是指图中的顶点可以分为两个不相交的集合,且图中的边只连接两个集合中的顶点。
2. 理解匈牙利算法的基本思想:匈牙利算法通过不断寻找增广路径来找到最大匹配。增广路径是指从一个未匹配的顶点出发,经过一系列的匹配边和未匹配边,最终到达另一个未匹配的顶点。
3. 理解匈牙利算法的实现过程:匈牙利算法可以使用深度优先搜索或广度优先搜索来寻找增广路径。在每一次搜索中,通过遍历与当前顶点相连的边,找到一个未匹配的顶点,并尝试将其匹配。如果成功匹配,则继续寻找下一个增广路径;如果无法匹配,则回溯到上一个顶点,尝试其他的匹配方案。
4. 理解匈牙利算法的时间复杂度:匈牙利算法的时间复杂度为O(VE),其中V是顶点数,E是边数。在实际应用中,可以通过一些优化策略来减少搜索的次数,从而提高算法的效率。
总结起来,学习匈牙利算法需要对二分图有一定的了解,并掌握算法的基本思想和实现过程。通过练习和实践,可以更好地理解和掌握匈牙利算法。
指派问题的匈牙利算法和二分图匈牙利算法有什么区别
指派问题是在一个二分图中,将左边的点与右边的点进行匹配,使得左边的每个点都与右边的一个点相连,且右边的每个点只与左边的一个点相连。匈牙利算法就是解决这种指派问题的经典算法之一。
而二分图匈牙利算法也是一种解决指派问题的算法,其主要思想是通过增广路的方式来不断扩大匹配的规模,最终找到最大匹配。其区别在于,二分图匈牙利算法是针对二分图而言的,而指派问题则可以适用于一般的图。
具体来说,指派问题的匈牙利算法是基于DFS实现的,而二分图匈牙利算法则是基于BFS实现的。在实际应用中,如果我们知道给定图是二分图,则可以直接使用二分图匈牙利算法来解决指派问题;否则就需要使用一般的指派问题算法。