推导二维可压缩NS方程的MacCormark离散格式,并给出数值计算流程
时间: 2024-04-09 13:29:45 浏览: 65
为了推导二维可压缩NS方程的MacCormack离散格式,首先我们需要假设网格区域是矩形的,并将其划分为规则的网格。
假设我们要求解的变量为密度 ρ、速度向量 u = (u, v) 和压力 p。NS方程组包括连续性方程和动量方程:
连续性方程:
∂ρ/∂t + ∂(ρu)/∂x + ∂(ρv)/∂y = 0
动量方程:
∂(ρu)/∂t + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y = -∂p/∂x + μ(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)
∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρv^2)/∂y = -∂p/∂y + μ(∂^2v/∂x^2 + ∂^2v/∂y^2)
其中,μ 是动力粘度。
接下来,我们使用MacCormack离散化方法对上述方程进行离散化。首先,我们将时间和空间离散化,使用前向差分法对时间进行离散化,使用中心差分法对空间进行离散化。
时间离散化:
∂ψ/
相关问题
对于等温不可压缩NS方程,推导动量方程采用BDF2格式离散时的增量型和非增量型分裂算法。
对于等温不可压缩NS方程,我们可以采用BDF2格式(Backward Differentiation Formula)进行时间离散化。BDF2格式是一种高阶隐式时间积分格式,可以提高数值稳定性和精度。
首先,我们将动量方程进行离散化,得到:
∂(ρu)/∂t + (∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y) = -∂p/∂x + μ(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)
∂(ρv)/∂t + (∂(ρuv)/∂x + ∂(ρv^2)/∂y) = -∂p/∂y + μ(∂^2v/∂x^2 + ∂^2v/∂y^2)
我们使用BDF2格式对时间进行离散化,推导增量型和非增量型的分裂算法。
增量型分裂算法(Incremental Splitting Algorithm):
1. 初始时刻 t = t0,给定初始条件 ρ^n, u^n, v^n。
2. 迭代时间步长 dt,计算预测速度场 u* 和 v*:
(ρu*) - (ρu^n) / dt = - (∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y)
(ρv*) - (ρv^n) / dt = - (∂(ρuv)/∂x + ∂(ρv^2)/∂y)
这里使用隐式格式来处理非线性项。
3. 在增量方程中引入压力项,利用连续性方程的离散化形式解压力方程:
∇^2p = (∂(ρu*)/∂x + ∂(ρv*)/∂y) / dt
对于二维问题,可以使用Poisson方程的离散格式求解压力。
4. 利用得到的压力场 p,更新速度场:
(ρu^n+1) = (ρu*) - (∂p/∂x) * dt
(ρv^n+1) = (ρv*) - (∂p/∂y) * dt
5. 更新时间步长。
6. 重复步骤2到步骤5,直到达到收敛条件。
非增量型分裂算法(Non-Incremental Splitting Algorithm):
1. 初始时刻 t = t0,给定初始条件 ρ^n, u^n, v^n。
2. 迭代时间步长 dt,计算预测速度场 u* 和 v*:
(ρu*) - (ρu^n) / dt = - (∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y)
(ρv*) - (ρv^n) / dt = - (∂(ρuv)/∂x + ∂(ρv^2)/∂y)
这里使用隐式格式来处理非线性项。
3. 在增量方程中引入压力项,利用连续性方程的离散化形式解压力方程:
∇^2p = (∂(ρu*)/∂x + ∂(ρv*)/∂y) / dt
对于二维问题,可以使用Poisson方程的离散格式求解压力。
4. 利用得到的压力场 p,更新速度场:
(ρu^n+1) = (ρu*) - (∂p/∂x) * dt
(ρv^n+1) = (ρv*) - (∂p/∂y) * dt
5. 更新时间步长。
6. 重复步骤2到步骤5,直到达到收敛条件。
以上是采用BDF2格式离散化时的增量型和非增量型分裂算法。这些算法可以用于求解等温不可压缩NS方程。
通过麦克斯韦方程组推导出波动方程以及达朗贝尔方程,给出推导过程并说明
我们可以使用麦克斯韦方程组推导出波动方程和达朗贝尔方程,推导过程如下:首先,我们从麦克斯韦方程组出发:∂2u/∂t2 = c2∂2u/∂x2 其中,u是位移函数,t是时间,x是空间,c是一个常数。然后,我们将c2∂2u/∂x2替换成 (∂u/∂t)2 - (∂2u/∂t∂x),这就是达朗贝尔方程:∂2u/∂t2 = (∂u/∂t)2 - (∂2u/∂t∂x)最后,我们将∂2u/∂t2替换成 (1/c2) (∂2u/∂t2 + (∂u/∂t)2),这就是波动方程:(1/c2) (∂2u/∂t2 + (∂u/∂t)2) = (∂u/∂t)2 - (∂2u/∂t∂x)以上就是使用麦克斯韦方程组推导出波动方程和达朗贝尔方程的推导过程。