用matlab解答设有线性方程组Ax=b,A=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2],b=[1;1;1]建立下面的迭代法解该方程组:xk=1=(I-wA)xk+wb,k=1,2……要求(1)求出使上述迭代法收敛的w的取值范围;
时间: 2024-02-01 10:12:32 浏览: 27
对于迭代法 $x_{k+1} = (I - wA)x_k + wb$,其收敛性取决于矩阵 $I - wA$ 的谱半径 $\rho(I - wA)$ 是否小于 1。因此,我们需要先求出矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$,然后再根据 $\rho(I - wA)$ 的表达式来确定 $w$ 的取值范围。
首先,求解特征值和特征向量:
$$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -1 - \lambda & 1 & 0 \\ -4 & 3 - \lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (\lambda - 3)(\lambda^2 + \lambda - 6) = 0$$
解得 $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1 - \sqrt{7}, \lambda_3 = -1 + \sqrt{7}$。对应的特征向量分别为:
$$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1 + \sqrt{7}}{4} \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1 - \sqrt{7}}{4} \\ 1 \end{pmatrix}$$
然后,根据 $\rho(I - wA) = \max\{|\lambda_1 - w|, |\lambda_2 - w|, |\lambda_3 - w|\}$,可以得出 $w$ 的取值范围为:
$$-2 < w < \frac{2}{3}$$
当且仅当 $-2 < w < \frac{2}{3}$ 时,迭代法 $x_{k+1} = (I - wA)x_k + wb$ 收敛。