y=e^(-1000|t|)的傅里叶变换公式

首先，根据傅里叶变换的定义，有：

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$

将 $f(t) = e^{-1000|t|}$ 代入上式，可以得到：

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{0}e^{1000t}e^{-j\omega t}dt + \int_{0}^{\infty}e^{-1000t}e^{-j\omega t}dt$

化简第一项：

$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{0}e^{1000t}e^{-j\omega t}dt &= \int_{-\infty}^{0}e^{-(j\omega - 1000)t}dt \\ &= \left[\frac{e^{-(j\omega - 1000)t}}{-(j\omega - 1000)}\right]_{-\infty}^{0} \\ &= \frac{1}{j\omega - 1000} \end{aligned}$

化简第二项：

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty}e^{-1000t}e^{-j\omega t}dt &= \int_{0}^{\infty}e^{-(j\omega + 1000)t}dt \\ &= \left[\frac{e^{-(j\omega + 1000)t}}{-(j\omega + 1000)}\right]_{0}^{\infty} \\ &= \frac{1}{j\omega + 1000} \end{aligned}$

因此，$y=e^{-1000|t|}$ 的傅里叶变换为：

$F(\omega) = \frac{1}{j\omega - 1000} + \frac{1}{j\omega + 1000}$