lim(ln(e^n+x^n))÷n(x>0),求f(x)
时间: 2024-06-06 17:06:35 浏览: 14
根据极限的性质,有:
lim(ln(e^n x^n))÷n(x>0) = lim(n ln(e|x|))÷n(x>0) = lim(ln(e|x|)^n)÷n(x>0)
再根据极限的夹逼原理,由于 ln(e|x|) = ln(e) + ln(|x|) = ln(|x|),且 ln(|x|) > 0,因此有:
lim(ln(e^n x^n))÷n(x>0) = lim(ln(e|x|)^n)÷n(x>0) = lim(ln(|x|)^n)÷n(x>0)
当 x = 1 时,有:
lim(ln(|x|)^n)÷n(x>0) = lim(ln(1)^n)÷n(x>0) = lim(0^n)÷n(x>0) = 0
当 x > 1 时,有:
lim(ln(|x|)^n)÷n(x>0) = lim(n ln(|x|))÷n(x>0) = +∞
当 0 < x < 1 时,有:
lim(ln(|x|)^n)÷n(x>0) = lim(n ln(|x|))÷n(x>0) = -∞
综上所述,f(x) 的定义域为 x ≠ 0,当 x = 1 时,f(x) = 0;当 x > 1 时,f(x) = +∞;当 0 < x < 1 时,f(x) = -∞。
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matlab求极限lim x趋近于1 y趋近于2 (x^2+y^2)^xy
好的,让我来帮你解答这个问题。
首先,我们可以将极限表达式写成指数形式,即:
lim(x→1, y→2) (x^2 + y^2)^(xy) = e^lim(x→1, y→2) ln[(x^2 + y^2)^(xy)]
接下来,我们需要求出 ln[(x^2 + y^2)^(xy)] 的极限。我们可以使用自然对数的性质,将指数拆开,得到:
ln[(x^2 + y^2)^(xy)] = xy * ln(x^2 + y^2)
然后,我们再将 ln(x^2 + y^2) 表示成 ln[(x-1)^2 + (y-2)^2 + 5] 的形式,这里使用了平面几何的知识。可以证明,当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时,(x-1)^2 + (y-2)^2 会趋近于 0,因此可以将 ln(x^2 + y^2) 用泰勒公式展开为:
ln(x^2 + y^2) = ln[(x-1)^2 + (y-2)^2 + 5] ≈ ln(5) + [(x-1)^2 + (y-2)^2]/5 + O([(x-1)^2 + (y-2)^2]^2)
注意到当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时,O([(x-1)^2 + (y-2)^2]^2) 的量级比 [(x-1)^2 + (y-2)^2]/5 小得多,因此我们可以忽略它,得到:
ln[(x^2 + y^2)^(xy)] ≈ xy * [ln(5) + (x-1)^2/5 + (y-2)^2/5]
现在我们需要求出 xy * [ln(5) + (x-1)^2/5 + (y-2)^2/5] 的极限。注意到当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时,xy 也趋近于 2,因此我们可以将极限写成:
2 * [ln(5) + (x-1)^2/5 + (y-2)^2/5]
然后,我们可以将 (x-1)^2 和 (y-2)^2 展开,得到:
2 * [ln(5) + (x^2 - 2x + 1)/5 + (y^2 - 4y + 4)/5]
化简一下,得到:
2 * [ln(5) + (x^2 + y^2)/5 - (2x + 4y - 7)/5]
现在我们只需要将 x^2 + y^2 替换成 5 - (x-1)^2 - (y-2)^2,得到:
2 * [ln(5) + (5 - (x-1)^2 - (y-2)^2)/5 - (2x + 4y - 7)/5]
最后,我们可以将 (x-1)^2 和 (y-2)^2 替换成 O(1) 的量,得到:
2 * [ln(5) + 1 - (2x + 4y - 7)/5]
当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时,(2x + 4y - 7)/5 也趋近于 0,因此极限为:
2 * [ln(5) + 1] = 2ln(5) + 2
因此,原极限的值为 e^(2ln(5)+2) = 50e^2。
x^(n+2)/n+2求和,n从1到正无穷
这也是一个无穷级数,可以使用求和公式来解决。首先,我们需要确保级数收敛。可以使用积比测试(integral test)来证明它的收敛性:
∫(1,∞) x^(n+2)/(n+2) dn = [x^(n+2)ln(n+2)](1,∞) - ∫(1,∞) (n+2)ln(x)x^(n+1) dn
当x=1时,第一项变为无穷大,因此我们需要证明第二项的收敛性。根据积比测试,我们需要找到一个收敛的p级数来和它比较。因为(n+2)ln(x)x^(n+1)在n趋近于无穷大时比x^n增长得更快,所以我们可以使用一个p级数∑(n=1,∞) x^n来比较它:
lim(n→∞) [(n+2)ln(x)x^(n+1)] / x^n = lim(n→∞) (n+2)ln(x)x / x^n = lim(n→∞) (n+2)ln(x) / x^(n-1) = 0
因此,该级数收敛。接下来,我们可以使用求和公式来计算级数:
∑(n=1,∞) x^(n+2)/(n+2) = -∫(1,x) (t^2/(t+2)) dt
对它进行积分,得到:
∑(n=1,∞) x^(n+2)/(n+2) = -x^2ln(x+2)+2x+2ln(x+2)-4
因此,该级数的和为:
∑(n=1,∞) x^(n+2)/(n+2) = -x^2ln(x+2)+2x+2ln(x+2)-4,其中x>0。