找出一个值，任一个特征值都比它大

如果一个矩阵的特征值都是正数，那么任何一个非零向量与它的特征向量都满足 $Ax=\lambda x$，其中 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，$x$ 是对应的特征向量。因此，如果我们取一个非零向量 $v$，那么 $Av$ 一定可以表示为 $Av=\lambda v$ 的形式，即 $v$ 是 $A$ 的特征向量，$\lambda$ 是对应的特征值。由于特征值都是正数，所以 $\lambda v$ 的长度一定比 $v$ 的长度大，即 $\|Av\|>\|v\|$。因此，我们可以取一个任意的非零向量 $v_0$，然后不断地对 $v_0$ 进行 $A$ 的变换，即 $v_k=Av_{k-1}$，那么 $\|v_k\|$ 会不断增加，而且 $\|v_k\|>\|v_{k-1}\|$。因此，存在一个正数 $M$，使得对于任意的 $k$，都有 $\|v_k\|>M$。根据矩阵的谱半径定义，$A$ 的谱半径 $\rho(A)$ 是所有特征值的模长的最大值，即 $\rho(A)=\max\{|\lambda_i|\}$，因此我们可以得到 $\rho(A)>\frac{\|v_k\|}{\|v_{k-1}\|}$，因此 $\rho(A)>\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\|v_k\|}{\|v_0\|}=\infty$。因此，不存在任何一个值使得所有的特征值都比它大。

相关问题

写一个输入任一矩阵，求其伴随矩阵的C语言

当我们要求一个矩阵的伴随矩阵时，首先需要了解什么是伴随矩阵。伴随矩阵是指对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，满足以下条件：
1. adj(A)的行列式等于A的行列式的n-1次方。
2. A * adj(A) = adj(A) * A = |A| * I，其中|A|表示A的行列式，I表示单位矩阵。

下面是一个用C语言编写的求矩阵的伴随矩阵的示例代码：

#include <stdio.h>

#define N 3 // 矩阵的维度

// 计算矩阵的行列式
int determinant(int matrix[N][N]) {
    int det = 0;
    int submatrix[N-1][N-1];
    
    if (N == 2) {
        return matrix * matrix - matrix * matrix;
    } else {
        for (int c = 0; c < N; c++) {
            int subi = 0;
            for (int i = 1; i < N; i++) {
                int subj = 0;
                for (int j = 0; j < N; j++) {
                    if (j == c)
                        continue;
                    submatrix[subi][subj] = matrix[i][j];
                    subj++;
                }
                subi++;
            }
            det = det + (c % 2 == 0 ? 1 : -1) * matrix[c] * determinant(submatrix);
        }
    }
    
    return det;
}

// 计算矩阵的伴随矩阵
void adjoint(int matrix[N][N], int adj[N][N]) {
    int sign = 1;
    int submatrix[N-1][N-1];
    
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            int subi = 0;
            for (int row = 0; row < N; row++) {
                int subj = 0;
                if (row == i)
                    continue;
                for (int col = 0; col < N; col++) {
                    if (col == j)
                        continue;
                    submatrix[subi][subj] = matrix[row][col];
                    subj++;
                }
                subi++;
            }
            adj[j][i] = sign * determinant(submatrix);
            sign = -sign;
        }
    }
}

// 打印矩阵
void printMatrix(int matrix[N][N]) {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            printf("%d ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    int matrix[N][N];
    int adj[N][N];
    
    printf("请输入%d阶矩阵的元素：\n", N);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            scanf("%d", &matrix[i][j]);
        }
    }
    
    printf("输入的矩阵为：\n");
    printMatrix(matrix);
    
    adjoint(matrix, adj);
    
    printf("伴随矩阵为：\n");
    printMatrix(adj);
    
    return 0;
}

这段代码中，我们首先定义了一个常量N表示矩阵的维度，然后实现了两个函数：determinant用于计算矩阵的行列式，adjoint用于计算矩阵的伴随矩阵。最后在main函数中，我们通过用户输入矩阵的元素，然后调用adjoint函数计算伴随矩阵，并打印结果。

输出二维数组任一行任一列元素的值 C语言

假设我们有一个二维数组arr，可以通过下标访问任意一行任意一列的元素。例如，访问第i行第j列的元素可以使用arr[i][j]。具体代码如下：

int arr[3][4] = {{1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}, {9, 10, 11, 12}};
int row = 1;  // 访问第2行
int col = 2;  // 访问第3列
int value = arr[row][col];  // 获取值
printf("arr[%d][%d] = %d\n", row, col, value);

运行结果为：

arr[1][2] = 7

这里我们访问了第2行第3列的元素，即7。你可以尝试修改row和col的值，获取不同位置的元素值。