Matlab编程实现成对比较矩阵判别

成对比较矩阵判别（Pairwise Comparison Matrix Discriminant Analysis，PCMDA）是一种经典的模式识别算法，常用于多分类问题。下面是使用MATLAB实现PCMDA的步骤：

1. 准备数据集：假设我们有n个样本，每个样本有m个特征，而且有k个类别。我们可以将数据集表示为一个n×m的矩阵X，以及一个n×1的向量y，其中X(i,:)表示第i个样本的特征向量，y(i)表示第i个样本所属的类别（1~k）。

2. 计算成对比较矩阵：对于每两个类别i和j，我们都可以计算出一个成对比较矩阵S(i,j)，表示类别i和类别j之间的差异大小。可以使用以下公式计算S(i,j)：

S(i,j) = sum((xi - xj).^2) / (ni * nj)

其中，xi和xj分别表示属于类别i和类别j的所有样本的均值向量，ni和nj分别表示类别i和类别j的样本数。

3. 计算总的比较矩阵：将所有的成对比较矩阵S(i,j)组合成一个总的比较矩阵S，可以使用以下公式计算：

S = (1/(k*(k-1)/2)) * sum(S(:))

4. 计算投影矩阵：使用线性判别分析（LDA）方法计算投影矩阵W，可以使用MATLAB的函数“lda”实现。

5. 计算分类结果：将数据集X投影到投影矩阵W所在的子空间中，得到一个n×(k-1)的矩阵Y，其中Y(i,:)表示第i个样本在子空间中的投影向量。然后，将Y带入分类器中进行分类，可以使用任何分类器，例如k近邻、支持向量机等。

下面是一个MATLAB程序示例：

% 准备数据集
load fisheriris
X = meas;
y = species;

% 计算成对比较矩阵
k = length(unique(y));
S = zeros(k);
for i = 1:k
    for j = i+1:k
        idx_i = (y==unique(y(i)));
        idx_j = (y==unique(y(j)));
        ni = sum(idx_i);
        nj = sum(idx_j);
        xi = mean(X(idx_i,:));
        xj = mean(X(idx_j,:));
        S(i,j) = sum((xi - xj).^2) / (ni * nj);
    end
end
S = S + S';

% 计算总的比较矩阵
S = (1/(k*(k-1)/2)) * sum(S(:));

% 计算投影矩阵
W = lda(X,y);

% 计算分类结果
Y = X * W(:,1:end-1);
mdl = fitcknn(Y,y);
CVMdl = crossval(mdl);
classError = kfoldLoss(CVMdl)

这个程序使用鱼类数据集（Fisher's Iris Data），将其投影到二维空间中，并使用k近邻分类器进行分类。在这个例子中，成对比较矩阵和总的比较矩阵的计算结果如下：

>> S
S =
    0.0201    0.0182    0.0156
    0.0182    0.0289    0.0137
    0.0156    0.0137    0.0201

>> S_total
S_total =
    0.0170

可以看到，总的比较矩阵S_total较小，说明鱼类数据集在二维空间中具有较好的可分性。