介绍一下beta函数的证明
时间: 2023-11-26 19:04:06 浏览: 39
Beta函数是指定义在区间 $[0,1]$ 上的两个正实数 $\alpha$ 和 $\beta$ 的函数,它的表达式为:
$$\text{B}(\alpha,\beta)=\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} \mathrm{d}t$$
Beta函数的证明可以通过分部积分来进行。我们先令 $u=t^{\alpha-1}$,$\mathrm{d}v=(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t$,则有:
$$\mathrm{d}u=(\alpha-1)t^{\alpha-2}\mathrm{d}t$$
$$v=-\frac{1}{\beta}(1-t)^{\beta}$$
对于区间 $[0,1]$,应用分部积分公式:
$$\int_0^1 u\mathrm{d}v=uv|_0^1-\int_0^1 v\mathrm{d}u$$
带入 $u$ 和 $v$ 的表达式,可以得到:
$$\begin{aligned} \int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t &= -\frac{1}{\beta}t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta}|_0^1 + \frac{\alpha-1}{\beta}\int_0^1 t^{\alpha-2}(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t \\ &= \frac{\alpha-1}{\beta}\int_0^1 t^{\alpha-2}(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t \end{aligned}$$
然后,我们再次应用分部积分公式,令 $u=t^{\alpha-2}$,$\mathrm{d}v=(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t$,则有:
$$\mathrm{d}u=(\alpha-2)t^{\alpha-3}\mathrm{d}t$$
$$v=-\frac{1}{\beta}(1-t)^{\beta}$$
继续进行分部积分,可以得到:
$$\begin{aligned} \int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t &= \frac{\alpha-1}{\beta} \cdot \frac{\alpha-2}{\beta-1} \int_0^1 t^{\alpha-3}(1-t)^{\beta-2}\mathrm{d}t \\ &= \frac{\alpha-1}{\beta} \cdot \frac{\alpha-2}{\beta-1} \cdot \frac{\alpha-3}{\beta-2} \int_0^1 t^{\alpha-4}(1-t)^{\beta-3}\mathrm{d}t \\ &\cdots \\ &= \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \end{aligned}$$
这就是 Beta 函数的证明过程。其中,$\Gamma(x)$ 表示欧拉函数,它的表达式为:
$$\Gamma(x)=\int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{d}t$$
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