已知质量矩阵和刚度矩阵m=[3 0;0 5],k=[3 -2;-2 4],求系统在 x=[2;0],v=[0;3]条件下初始条件下的响应

根据动力学基本方程：

m*d^2x/dt^2 + k*x = f

其中，f为外力，当f=0时，可得到自由振动的方程：

m*d^2x/dt^2 + k*x = 0

将质量矩阵和刚度矩阵代入，得到特征方程：

|3-lambda -2 | |x1| |0|
|-2 4-lambda| * |x2| = |0|

解得特征值为lambda1=1，lambda2=6。

对于每个特征值，都可以计算得到对应的特征向量，例如：

(3-1)x1 - 2x2 = 0 => x1 = 2/3x2

-2x1 + (4-1)x2 = 0 => x2 = 2x1

因此，特征向量为v1=[2/3;1]，v2=[2;1]。

将初始条件代入，可以得到：

x(t) = c1*v1*sin(sqrt(lambda1)*t) + c2*v2*sin(sqrt(lambda2)*t)

v(t) = c1*v1*sqrt(lambda1)*cos(sqrt(lambda1)*t) + c2*v2*sqrt(lambda2)*cos(sqrt(lambda2)*t)

根据初始条件x=[2;0], v=[0;3]，可以解得：

c1 = 0

c2 = [0; 3/sqrt(34)]

因此，系统在初始条件下的响应为：

x(t) = [4/(3*sqrt(34))] * [2;1] * sin(sqrt(6)*t)

v(t) = [2/sqrt(34)] * [2;1] * cos(sqrt(6)*t)

相关问题

利用matlab求解已知质量矩阵和刚度矩阵m=[3 0;0 5],k=[3 -2;-2 4],求系统在 x=[2;0],v=[0;3]作为初始条件下的多自由度自由振动响应，给出代码

可以使用MATLAB中的ode45函数来求解多自由度自由振动响应。

首先，我们需要定义质量矩阵和刚度矩阵：

m = [3 0; 0 5];
k = [3 -2; -2 4];

然后，我们需要定义系统的初始条件，即位移和速度：

x0 = [2; 0];
v0 = [0; 3];

接下来，我们需要定义ODE函数。对于多自由度系统，ODE函数应该返回一个列向量，其中包含每个自由度的加速度。因此，我们需要将系统的二阶微分方程转化为一组一阶微分方程。对于一个二自由度系统，ODE函数可以这样定义：

function dxdt = odefun(t, x)
    m = [3 0; 0 5];
    k = [3 -2; -2 4];
    dxdt = zeros(4, 1);
    dxdt(1:2) = x(3:4);
    dxdt(3:4) = -inv(m)*k*x(1:2);
end

在上面的ODE函数中，dxdt是ODE函数的输出，表示系统在当前时刻的状态变化率。在本例中，dxdt是一个4x1列向量，其中前两个元素是位移和速度，后两个元素是加速度。通过调用inv(m)*k*x(1:2)计算出系统的加速度。

最后，我们可以使用ode45函数来求解ODE。代码如下：

tspan = [0 10];
y0 = [x0; v0];
[t, y] = ode45(@odefun, tspan, y0);

输出变量t包含ODE求解器使用的时间网格，y是一个矩阵，包含系统在每个时刻的状态。我们可以从y中提取位移和速度：

x = y(:, 1:2);
v = y(:, 3:4);

完整的MATLAB代码如下：

m = [3 0; 0 5];
k = [3 -2; -2 4];
x0 = [2; 0];
v0 = [0; 3];

function dxdt = odefun(t, x)
    m = [3 0; 0 5];
    k = [3 -2; -2 4];
    dxdt = zeros(4, 1);
    dxdt(1:2) = x(3:4);
    dxdt(3:4) = -inv(m)*k*x(1:2);
end

tspan = [0 10];
y0 = [x0; v0];
[t, y] = ode45(@odefun, tspan, y0);

x = y(:, 1:2);
v = y(:, 3:4);

在matlab中已知系统的质量矩阵M和刚度矩阵K,如何求振型

在Matlab中，可以使用`eig()`函数来求解系统的振型。具体步骤如下：

1. 计算系统的特征值和特征向量。特征值和特征向量可以分别由系统的质量矩阵M和刚度矩阵K求解。具体地，使用`[V,D] = eig(K,M)`函数可以得到特征值矩阵D和特征向量矩阵V，其中特征向量矩阵的每一列都对应着一个振型。

2. 对特征向量进行归一化处理。在Matlab中，可以使用`V = normc(V)`函数对特征向量进行归一化处理，使得每个振型的模为1。

3. 将特征向量输出为振型。对于每个振型，可以通过输出特征向量的某一列来得到。例如，输出第k列即为第k个振型。

示例代码如下：

% 系统的质量矩阵M和刚度矩阵K
M = [...];
K = [...];

% 求解特征值和特征向量
[V,D] = eig(K,M);

% 归一化特征向量
V = normc(V);

% 输出第k个振型
k = 1;
mode = V(:,k);

需要注意的是，在实际应用中，可能需要对特征值和特征向量进行排序，以便将振型按照频率从小到大排列。此外，还需要对特征值进行处理，以去除无穷大或无穷小的情况。