解释节点度数的二阶矩<k^2>=<k>+<k>^2
时间: 2023-12-14 18:03:47 浏览: 36
节点度数是一个图中节点的相邻连接数量。节点度数的一阶矩(即期望值)是所有节点度数之和除以节点总数。节点度数的二阶矩是所有节点度数的平方之和除以节点总数。
<k^2>表示节点度数的二阶矩,<k>表示节点度数的一阶矩。根据定义,节点度数的一阶矩可以表示为:<k>=Σk_i/N,其中k_i表示第i个节点的度数,N表示节点总数。因此,<k>^2=(Σk_i/N)^2。
考虑展开<k^2>的求和式,我们可以得到:
<k^2> = Σk_i^2/N
将k_i表示为<k>+δ,其中δ表示节点度数与节点度数的一阶矩之差。将δ代入上式,我们可以得到:
<k^2> = Σ(<k>+δ)^2/N
展开平方项并代入<k>^2,我们可以得到:
<k^2> = <k>^2 + 2<δk> + <δ^2k^2>
其中<δk>表示节点度数与节点度数的一阶矩之差的期望值,即Σδk_i/N。由于节点度数的一阶矩是所有节点度数之和除以节点总数,因此Σδk_i=0。因此,<δk>=0。
同理,<δ^2k^2>表示节点度数与节点度数的一阶矩之差的平方的期望值,即Σ(δk_i)^2/N。由于节点度数的一阶矩是所有节点度数之和除以节点总数,因此Σ(δk_i)^2=Σ(k_i-<k>)^2。因此,<δ^2k^2>=Σ(k_i-<k>)^2/N。
将<δk>=0和<δ^2k^2>代入<k^2>的式子,我们可以得到:
<k^2> = <k>^2 + <Σ(k_i-<k>)^2>/N
由于Σ(k_i-<k>)^2表示所有节点度数与节点度数的一阶矩之差的平方之和,它等于节点度数的方差。因此,上式可以简化为:
<k^2> = <k>^2 + Var(k)
这就是节点度数的二阶矩<k^2>与一阶矩<k>的关系,即<k^2>=<k>+<k>^2。